工繊大の塚本です.

2015年10月24日土曜日 3時54分48秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> (Cw,w)=(C(x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3),x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3)
> =(x_1Cu_1+x_2Cu_2+x_3Cu_3,x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3) (∵線形性)
> =Σ_{i,j=1..3}x_i\bar{x_j}(Cu_i,u_j)

 x_j の方を \bar{x_j} としているのであれば,
前について線形, 後ろについて反線形ですね.

> =Σ_{i,j=1..3}x_i\bar{x_j}u_i*C^*,u_j)

意味不明な式ですね.
 C u_i = \sum_{k=1}^3 C_{ki} u_k ですから,

 = \sum_{i,j,k=1}^3 C_{ki} x_i \bar{x_j} (u_k, u_j)
 = \sum_{j,k=1}^3 (\sum_{i=1}^3 C_{ki} x_i) \bar{x_j} \delta_{kj}
 = \sum_{k=1}^3 (\sum_{i=1}^3 C_{ki} x_i) \bar{x_k}

> =(C(x_1 x_2 x_3)^T,(x_1 x_2 x_3)) (∵??)
> =(Cx,x)
> 
> となるんですよね。最後の変形はどうれすば導けるのでしょうか?

上の最後の式は C を行列と読み直して, C^3 のベクトル x についての
エルミート内積 (C x, x) を計算する式になっています.

> x∧y=(x_2y_3-y_2x_-(3,x_1y_3-y_1x_3),x_1y_2-y_1x_2)^T
> ではないんですか?

違います.

> すみません。x∧yの定義は一体何なのでしょうか? 

Λ での積が双線形, 交代的になるように C^3 の基底 e_1, e_2, e_3
に対する積から決めた Λ^2 C^3 の元です.
 e_iΛe_i = 0, e_jΛe_i = - e_iΛe_j ですから,

 (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3)Λ(y_1 e_1 + y_2 e_2 + y_3 e_3)
 = x_1 y_1 e_1Λe_1 + x_1 y_2 e_1Λe_2 + x_1 y_3 e_1Λe_3
   + x_2 y_1 e_2Λe_1 + x_2 y_2 e_2Λe_2 + x_2 y_3 e_2Λe_3
   + x_3 y_1 e_3Λe_1 + x_3 y_2 e_3Λe_2 + x_3 y_3 e_3Λe_3
 = (x_2 y_3 - x_3 y_2) e_2Λe_3
   + (x_1 y_3 - x_3 y_1) e_1Λe_3
   + (x_1 y_2 - x_2 y_1) e_1Λe_2

という e_2Λe_3, e_1Λe_3, e_1Λe_2 の1次結合になります.
 e_1, e_2, e_3 の1次結合ではありません.
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塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学 
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp