ご回答誠に有難うございます。

>> なかなかエルミート内積の定義が見当たらなかったので,
>> h:C^n×C^n→C;h(u,v)=u^*v (但し,^*は随伴(転置&複素共役)の意味)で定義される 
>> 
>> 内積の事だと思います。
> 貴方は先に, (C w, w) の計算において,
> (C w, w) = \sum_{i,j=1}^3 x_i \bar{x_j} (C u_i, u_j)
> としていましたから, 前について線形, 後ろについて反線形な
> エルミート内積を使うことにしていた筈です.
> 前について反線形, 後ろについて線形にする定義も良く使わますが,
> 一つの話の中ではそれらを混合して使ってはいけません.

これは失礼致しました。
前が反線形,後が線形を採用されてたのでしたね。

> C^n の標準的なエルミート内積 h(u, v) は
> h(u, v) = \sum_{i=1}^n \bar{u_i} v_i
> （或いは, h(u, v) = \sum_{i=1}^n u_i \bar{v_i}）
> で与えられますが, 一般の C 上のベクトル空間 V 上の
> エルミート内積 h: V \times V \to C がどのようなものであるか,
> はきちんと復習されますように.

エルミート内積の定義は
(i) (x,x)≧0∈C, (x,x)=0⇔x=0∈V
(ii) (x,y)=\bar(y,x)
(iii) (x,αy_1+βy_2)=α(x,y_1)+β(x,y_2) (後での線形性)
なのですね。

> エルミート対称な線形変換とは,
>>> V の任意の元 v, w について (f v, w) = (v, f w) となるものです.
>> 任意のVの基底に対するfの表現行列[f]について([f]v)^*w=v^*[f]wが成り立つのですね。
> V の「正規直交基底」についての表現行列 [f] についてはそうです.

(f(v),w)=(v,f(w))⇔([f]v)^*w=v^*[f]w (但し,[f]は正規直交基底についてのfの表現行列)
が必要十分条件なのですね。

> ところで f^* とか [f]^* の定義も復習されますように.

F,F'を体としV-FをF上の線形空間とする時,V-FからF'への線形準同型全体Hom(V-F,F'-F')をVとF'の双対空間といい,D(V,F,F')と表す事にする。
この時,f∈Hom(V-F,V'-F)を採ると,∀x∈V,∀y∈D(V',F,F')に対して,
∃!g∈Hom(D(V',F,F'),D(V,F,F')); y(f(x))=(g(y))(x)が成り立つ時,このgをf^*と表して,左随伴写像と呼びます。
これはyとf(x)間の演算を内積(,)、g(y)とx間の演算を内積(,)'、即ち
(,);V'×D(V',F,F')→Cと(,)':V×D(V,F,F')→Cとすると,
∀x∈V,∀y∈D(V',F,F')に対して,(f(x),y)=(x,g(y))'が成り立つ事を意味します。

>> 線型同型h:Λ^2C^3→C^3は
>> Λ^2C^3∋∀x∧y=α(e_2∧e_3)+β(e_1∧e_3)+γ(e_1∧e_2)
>> →h(u∧v):=(α,β,γ)∈C^3で定義されるのですよね?
> Λ^2 C^3 の元とは α e_2Λe_3 + β e_1Λe_3 + γ e_1Λe_2 の
> 形のものであり,

α(e_2∧e_3)+β(e_1∧e_3)+γ(e_1∧e_2)ではなく
(αe_2)Λe_3+(βe_1)Λe_3+(γe_1)Λe_2だったのですね。

> 外積 Λ: C^3 \times C^3 \to Λ^2 C^3 と
> 3 次元であることの特殊性を用いると,
> Λ^2 C^3 の元がある x, y \in C^3 の元を用いて xΛy と書ける
> ことも言えますが, 後者はここでは必要ないでしょう.
> h(uΛv) は意味不明.

おっとh(x∧y)の書きたかったのでした。失礼致しました。

> h(α e_2Λ e_3 + β e_1Λe_3 + γ e_1Λe_2) = (α, β, γ)
> とだけ書けば良いでしょう.

有難うございます。

>> まず,線型同型である前に∧^2C^3がC上の線形空間になっている事を
>> 確かめないといけませんよね。
> h が同型であるように, Λ^2 C^3 の線形空間としての構造は
> 入れれば良い.
>> まず,集合Λ^2C^3が足し算に関してabelianになる事を示したいですが,
>> ∀u∧v,u'∧v'∈Λ^2C^3に対して,u∧v+u'∧v'=u'∧v'+u∧vは
>> どうすればいえるのでしょうか?
> そんなことは h が同型であるように Λ^2 C^3 の線形空間としての
> 構造を入れれば当たり前です.
>> そもそも∧^2C^3の足し算はどのように定義されてるんでしょうか?
> h が同型であるように定義されています.

前記事で∧^2C^3の定義は∧^2C^3:={x×y∈C^3;x,y∈C^3} (但し,×はベクトル積)の意味ではないと仰ってますが,
ご紹介いただいた山本哲朗「行列解析の基礎」SGCライブラリ79, サイエンス社, 
2010.第11章の「Grassmann積と複合行列」のp175のGrassmann積∧の定義を見ましたら,この∧はベクトル積そのものだと思うのですが,勘違いしてますでしょうか? 


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