ご回答誠に有難うございます。


>> 「0≠∀w∈∧^2C^3に対して,0≠∃k∈C,∃u_2,u_3∈C^3 such that
>> ∃u_1∈C^3;{u_1,u_2,u_3}はC^3の正規直交基底」の理解に難儀しております。
>> k_1≠0の時と,k_1=0且つ(k_2,k_3)≠(0,0)の時について計算してみました
>> (下記の(iii)の箇所です)。
>> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/GrassmannProduct.pdf
>> 双方ともk=1となってしまったのですがこれでいいのでしょうか?
> k_1 \neq 0 のとき,
> k_1 e_1Λe_2 + k_2 e_1Λe_3 + k_3 e_2Λe_3
> = (e_1 - (k_3/k_1) e_3)Λ(k_1 e_2 + k_2 e_3)
> であり, v_1 = e_1 - (k_3/k_1) e_3, v_2 = k_1 e_2 + k_2 e_3 とおくと,
> = v_1Λv_2
> ですが, v_1, v_2 を正規直交化して得られる
> u_2 = (1/\sqrt{1 + |k_3/k_1|^2})(e_1 - (k_3/k_1) e_3),
> u_3 = (1/\sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1+|k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + 
> |k_2|^2})
>       \times (k_2\bar{k_3}/\bar{k_1} e_1 + (1+|k_3/k_1|^2)k_1 e_2 + k_2 
> e_3)
> について,
> v_1 = \sqrt{1 + |k_3/k_1|^2} u_2,
> v_2 = (- k_2\bar{k_3}/\bar{k_1}) \sqrt{1 + |k_3/k_1|^2} u_2
>       + \sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1 + |k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + 
> |k_2|^2}
>         \times(1/\sqrt{1+|k_3/k_1|^2}) u_3
> ですから,

有難うございます! 正規直交後のベクトルは正規直交前のベクトルの定数倍に成っているのですね。これは知りませんでした。


> v_1Λv_2
> = \sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1 + |k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + |k_2|^2} 
> u_2Λu_3
> となり,
> k = \sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1 + |k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + |k_2|^2}
> でしょう.

なるほど納得です。


> k_1 = 0 の場合はお考え下さい.

http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/GrassmannProduct.pdf
より,
v_1=∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3,
v_2=u_2
だから,w=(k_2e_1+k_3e_2∧e_3)=(∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3)∧u_2=∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3∧u_2で, 

k=∥k_2e_1+k_3e_2∥となるのですね。 


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