工繊大の塚本です.

2016年2月5日金曜日 9時09分14秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> 「0≠∀w∈∧^2C^3に対して,0≠∃k∈C,∃u_2,u_3∈C^3 such that 
> ∃u_1∈C^3;{u_1,u_2,u_3}はC^3の正規直交基底」の理解に難儀しております。
> k_1≠0の時と,k_1=0且つ(k_2,k_3)≠(0,0)の時について計算してみました
> (下記の(iii)の箇所です)。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/GrassmannProduct.pdf
> 双方ともk=1となってしまったのですがこれでいいのでしょうか?

 k_1 \neq 0 のとき,
 k_1 e_1Λe_2 + k_2 e_1Λe_3 + k_3 e_2Λe_3
 = (e_1 - (k_3/k_1) e_3)Λ(k_1 e_2 + k_2 e_3)
であり, v_1 = e_1 - (k_3/k_1) e_3, v_2 = k_1 e_2 + k_2 e_3 とおくと,
 = v_1Λv_2
ですが, v_1, v_2 を正規直交化して得られる
 u_2 = (1/\sqrt{1 + |k_3/k_1|^2})(e_1 - (k_3/k_1) e_3),
 u_3 = (1/\sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1+|k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + |k_2|^2})
       \times (k_2\bar{k_3}/\bar{k_1} e_1 + (1+|k_3/k_1|^2)k_1 e_2 + k_2 e_3)
について,
 v_1 = \sqrt{1 + |k_3/k_1|^2} u_2,
 v_2 = (- k_2\bar{k_3}/\bar{k_1}) \sqrt{1 + |k_3/k_1|^2} u_2
       + \sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1 + |k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + |k_2|^2}
         \times(1/\sqrt{1+|k_3/k_1|^2}) u_3
ですから,
 v_1Λv_2
 = \sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1 + |k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + |k_2|^2} u_2Λu_3
となり,
 k = \sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1 + |k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + |k_2|^2}
でしょう.

k_1 = 0 の場合はお考え下さい.
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塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp