ご回答誠に有難うございます。

>> rが整数でない場合は
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_10003__00.jpg
>> で述べておりますがやはり勘違いしておりますでしょうか?
> それは部分積分した残りの積分が収束するかどうかの話.
> それまでに, 部分積分で書き直す途中の
>  lim_{b \to \infty} b^r/\exp(b) = 0
> を示す部分が不十分です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10003__01.jpg
とすべきでしたね。

> さらに, 0 < r - n < 1 にしていては,
> t^{r-n} は t \to \infty で \infty に発散するのですから,
> t^{r-n} \exp(-t) の可積分性が明確になっているとは
> 言えません.

なので
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10003__02.jpg
という具合にt^{r-n}exp(-t)をt^1exp(-t)で抑えているのですが不味かったでしょうか?