工繊大の塚本です.

In article <ju9sgo$eae$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> お陰様で
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2825__02.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2825__03.jpg
> とかいけつできました。

途中で \exp(u) を \exp(\exp(r i \theta)) などと間違うところ
などは無視するつもりでしたが, 「 \phi(u) は u = 0 で正則」
というのは看過できません. u^{s-1}/(\exp(u) - 1) は, s が
 1 より大きな整数でない限り, u = 0 で正則ではありません.
原点は s が整数でなければ分岐点です. もっと重要なことは
原点が今考えている閉曲線の内部にはないことです.

ここを誤解しているということは何も理解していないということです.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_285__07.jpg
> としてみたのですがここからどのように進めますでしょうか?

複素線積分を実パラメータについての積分に書き換えることが
出来ないのでは何も始まりません.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_285__07.jpg
> からどのようにして|u^{s-1}/(e^u -1)|なる複素数uを
> |x^{s-1}/(e^x -1)|なる実数xにすりかえれるのでしょうか?

正の実数上の路の上を u は動くのだから, u = x の形の
 parametrization を利用するのは当然です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp