工繊大の塚本と申します.

In article <jsat40$5m2$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/p167.jpg
> の上方(1)のCauchyの積分定理(2重連結領域でのCauchyの積分定理)の方を
> 使用されたのだと推測します

「証明」の手順は似ていますが, 違います.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_283__00.jpg
> を証明したのですがあってますでしょうか?

目標は, 正の数 \epsilon に対して, C = C_\epsilon を,
実軸を正の無限大から \epsilon まで進んだのち,
原点中心半径 \epsilon の円上を一周し, 実軸を \epsilon から
正の無限大まで進む路とするとき,
 \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(e^u - 1) du が \epsilon に
依らないことでしたから, 違います.

 f_s(u) = u^{s-1}/(e^u - 1) とするとき,
 0 < \epsilon_1 < \epsilon_2 に対して,
 \int_{C_{\epsilon_2}} f_s(u) du - \int_{C_{\epsilon_1}} f_s(u) du
 = \int_{\gamma_{\epsilon_2}} f_s(u) du
   - \int_{gamma_{\epsilon_1}} f_s(u) du
   + \int_{\epsilon_1}^{\epsilon_2} f_s(x) dx
   - \int_{\epsilon_1}^{\epsilon_2} \exp(2 \pi i s) f_s(x) dx
となることに注意します. ここで \gamma_\epsilon は
原点中心半径 \epsilon の円上を,
実軸の正の部分との交わりから一周する路ですが,
 u^{s-1} は円周上では一価にはならないので,
 \int_{\gamma_\epsilon} f_s(u) du を閉曲線上での線積分としては
扱えません.
また, u^{s-1} の多価性から, 実軸上での積分は
 \int_{\epsilon_1}^{\epsilon_2} f_s(x) dx および
 \int_{\epsilon_1}^{\epsilon_2} \exp(2 \pi i s) f_s(x) dx となって,
打ち消し合いません.

従って, \int_{\gamma_{\epsilon_2}} f_s(u) du と
 \int_{\gamma_{\epsilon_1}} f_s(u) du とが
一致するわけではないので,

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_283__00.jpg

の主張は間違っています.

実軸の正の部分は二つの別のシートの上にあると考えて,
 [\epsilon_1, \epsilon_2] + \gamma_{\epsilon_2}
 + (- [\epsilon_1, \epsilon_2]) + (- \gamma_{\epsilon_1})
という閉曲線で囲まれた領域上とその周において
 f_s(u) が一価正則であることを用いることになります.

> ほんでもって
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_285__04.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_285__05.jpg
> という具合に証明したのですが相変わらず勘違いしておりますでしょうか?

不十分です. u^{s-1} の多価性に御注意下さい.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp