工繊大の塚本です.

In article <jtmunl$7v1$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_282__00.pdf
> でu^{s-1}/(e^u-1)はC\setminus Zでは常に多価関数と確認できました。
> なのでu^{s-1}/(e^u-1)は曲線
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/graph176.jpg
> 上でも多価関数となりますよね。

だから, 多価関数の分枝を選ぶのです.
 u^{s-1}/(e^u - 1) が \gamma_{\epsilon_2} の出発点である B においては
 \epsilon_2^{Re(s) - 1} \exp(i Im(s) \log \epsilon_2)/(e^{\epsilon_2} - 1)
という値を取るとすれば,
その閉曲線上とその内部で一価正則になる u^{s-1}/(e^u - 1) の
分枝が一意的に定まります.

> 従って,積分
> ∫_{γ_{ε_2}→E→D→γ_{ε_1}→A→B}u^{s-1}/(e^u-1)du
>  は定義されないのではないのでしょうか?
> (∵複素線積分の定義
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def583__01.jpg
> より,被積分関数は一価関数でなければならない)

分枝を選べば連続関数になりますから定義されます.

> あと、
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_285__00.pdf
> についてですが
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_285__06.jpg
> の下りの部分で
> ∫_{{x∈[ε_2,∞];Arg(x)=0},∞→ε_2}u^{s-1}/(e^u-1)duと
> -∫_{{x∈[ε_2,∞];Arg(x)=0},∞→ε_2}u^{s-1}/(e^u-1)du
> とが打ち消され,
> ∫_{{x∈[ε_2,∞];Arg(x)=2π},∞→ε_2}u^{s-1}/(e^u-1)duと
> -∫_{{x∈[ε_2,∞];Arg(x)=2π},∞→ε_2}u^{s-1}/(e^u-1)
> とが打消されるという運びになっているのですが
> これは各積分値が有限値の場合に可能なのであって
> もし積分値が無限大に発散してしまう場合には当然引き算は出来ませんよね?
> どうして各積分値が有限値である事が分かるのでしょうか? 

被積分関数を評価すれば宜しい.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp