ご回答誠に有難うございます。すっかり遅くなりまして大変申し訳ありません。

>> 実数列では発散の分類について,
>> 振動,±∞という3ケースを習うのに対して
> そのようには習わない筈です.
> 発散するものの中に,
> 正の無限大に発散するものと負の無限大に発散するものがあり,
> それらを特別扱いすることはあります.
> これは実数直線を拡大実数直線に拡張することに対応します.
> しかし, それ以外の発散するものを「振動」と呼んだりはしません.

しっ然し,下記には正負の無限大に発散する以外は"振動する"と述べてあるようですが,一体どう解釈したらいいのでしょうか?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90

>> 複素数列では発散の分類を軽視するのでしょうか?
>> 複素数列で発散の区別を迫られる事態は
>> 余程の事が無い限り遭遇しないものなのでしょうか?
> 複素数平面をリーマン球面に拡張することに対応して,
> (リーマン球面の)無限遠点に収束する場合として,

複素数列の場合は∞に"発散する"ではなく"収束する"と表現するのでしたね。

> 無限大に発散する場合を特別扱いすることはあっても,
> それ以外のものを分類することは通常ありません.

有難うございます。"通常"は無いだけであって,或る複素数値に収束や∞に収束以外にも発散の分類は一応,ありはするのですね。
ただそれらが議論の対象になる事は滅多に無いだけなのですね。納得です。漸く,明るくなりました。

>> あれ?
>> Prop199.99465(v)については前記事(130204203516.M0100611@ras1.kit.ac.jp)の
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__07.pdf
>> で一応解決済みなのですよね。
> f(x) = x/(\exp(x) - 1) が [0, 1] 上 C^\infty であることを認めれば,
> そういう証明になりますが, 貴方は C^\infty であることを示すことを
> 放棄しています.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_class_C_omega__00.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__18.pdf
という具合に[0,1]上でholomorphicである事を示しましたがこれで如何でしょうか?

>> えーっ? そうしますと,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__09.pdf
>> での3ページの7行目からはどのように進めばいいのでしょうか?
> 普通の Riemann 積分 \int_a^b f(x) dx は「向き」を考えた積分で
> \int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx ですが,
> ここで考えているのは一次元の積分でも(線積分ではなく)
> 「線素」

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_line_element__00.jpg
が線素の定義ですね。

>についての「向き」を考えない積分ですから,

|w(t_k)-w(t_{k-1})|には向きは無く,大きさ(っていうか非零の距離)だけがあるのでしたね。

> \int_{[\epsilon, \infty]} |f(u)| |du| = \int_\epsilon^\infty |f(x)| dx,
> \int_{[\infty, \espsilon]} |f(u)| |du| = \int_\epsilon^\infty |f(x)| dx,
> とどちらも正の値になるように「向き」を取って計算することになります.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__12.jpg
という具合でいいのですね。

>> 然し,3行目の∫_ε^∞|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1| du
>> は被積分関数は実関数になってるにせよ複素線積分の形になってますよね。
> 繰り返しますが, 複素線積分で書くのは間違いです.
> 実変数についての通常の Riemann 広義積分で書きなおすものです.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_line_element__01.jpg
という慣習があるのですね。

従って, ∫_ε^∞|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1| duは
∫_ε^+∞|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1| du
と書くべきなのですね。

>> そして,2行目のはR^2平面上の曲線
>> |ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1|とu軸とで挟まれた
>> εから+∞までの実広義積分
> そりゃあ, 正の関数の Riemann (広義)積分というのは
> その関数のグラフと独立変数の軸との間の部分の面積の計算ですが.

はい。その通りですね。

>> 3行目のは確かに積分範囲はεから"∞(無限大でなく無限遠点)"までですし,
> 実変数に書き直していることに気付きましよう.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__13.jpg
のようにuは複素変数ですが実軸を走り,被積分関数も実関数となっているので,
慣習に従って,
∫_ε^∞|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1| du(ここでの∞は無限遠点)は
∫_ε^+∞|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1| du (ここでの+∞は正の無限大)と書かれるのですね。

>> lim_{C∋z→∞}∫_ε^b|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1| duといった 
>> 
>> 複素異常積分の概念は存在しないのですね。
> 貴方が間違っただけです.

そのようです。

>> 更に|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1|は
>> 別の複素平面に描かれた曲線(これは描きようがないのでしたね)で
>> その曲線下と元の複素平面の実軸とで挟まれたカーテンの面積を表しているので
>> 必ずしも2行目のの面積と等しくなるとは限りませんでしたね。
> 相当勘違いしているようですね.

そ,そうですね。
結局,∫_{C_ε}|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1| |du|という線素積分は
∫_ε^+∞|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1| 
du+∫_{γ_ε}|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1| 
|du|+∫_ε^+∞|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1| du
と分解して書け,
|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1|という実関数と[ε,+∞)という区間とに囲まれた面積と
|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1|という複素関数(実際は実関数だが複素関数とも看做せる)と複素平面上の曲線γ_εで挟まれたカーテン部分の面積と
|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1|という実関数と[ε,+∞)という区間とに囲まれた面積との和を表しているのですね。

>> 了解ですが
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__10.jpg
>> の2行目から手も足も出ないのですがどう対処すればいいのでしょうか?
>  \int_\epsilon^\infty |\log x|^2 \exp(|h||\log x|)|x^{s-1}|/(\exp(x)-1) dx
>  = \int_\epsilon^1 (\log x)^2 x^{-|h|} x^{Re(s)-1}/(\exp(x)-1) dx
>    + \int_1^\infty (\log x)^2 x^{|h|} x^{Re(s)-1}/(\exp(x)-1) dx
> の評価については既に何度も議論しました. 1 \leq x では
> 1/(\exp(x)-1) \leq 2 \exp(-x) という評価もあります.

有難うございます。試してみます。

>> 何とか∫_ε^∞(ln(u))^2exp(|h||ln(u))|u^{s-1}|/(exp(u)-1)duについて
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__11.jpg
>> という形にもっていって有界性を示すのは間違ったアプローチでしょうか?
> 正の実数に値を取っているものを評価しようとしている時に
> どうして複素数が出て来るのですか. 何が [Prop205.29247] で
> あるのか分かりませんが.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__14.pdf
と訂正致しました。[Prop205.29247] も掲載しております。これで大丈夫でしょうか?

>> ところで前記事にて
>> 『それは複素数値ではなく, リーマン球面に値を取るとする
>> 場合の話です.』
>> についてですがリーマン球面と拡大された複素平面とは同一視と捉えては
>> 駄目なのでしょうか?
> 別に構いませんよ, ちゃんと理解しているなら.

距離空間(A,dist),f∈Map(A,A)に於いて,l:=lim_{A∋x→a}f(x)(但し,a∈A)が収束するの定義は
0<∀ε∈Rに対して,0<∃δ∈R;f(Ball(a,δ))⊂Ball(l,ε)…[1](但し,Ball(l,ε)はlを中心とする半径εの開球)で
lim_{A∋x→a}f(x)が発散するの定義は,
0<∀ε∈Rに対して,0<∃δ∈R;f(Ball(a,δ))⊂Ball(0,ε)^c…[2].
更には,aが∞の場合に相当する[1],[2]の定義は夫々,
0<∀ε∈Rに対して,0<∃δ∈R;f(Ball(b,δ)^c)⊂Ball(l,ε),
0<∀ε∈Rに対して,0<∃δ∈R;f(Ball(b,δ)^c)⊂Ball(0,ε)^c.
(但し,bは適当なAの固定点(∵原点のような基準になるような点がAには無い為))と書けると思います。
そこで
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Riemann_sphere__03.jpg
がReimann球面の定義ですよね(これでは理解してるとは言えないでしょうか?)。
ここでの∞の近傍U(∞)を考えると
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_diverges_to_infty_in_complex__00.jpg
のp97の「Sが有界でないと,正の整数nに対して…」の下りにて,
U(∞)は上のBall(0,ε)^cに相当するなぁと感じました。

通常,複素数の微積分の議論と言えば,拡張された複素平面(リーマン球面)C∪{∞}にて議論するのですよね(実数の微積分の議論といえばR∪{±∞}で議論すように)?

>> そうでしたか。複素線積分の定義
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_line_integral__00.jpg
>> にて曲線Cを[a,b],写像wをMap([a,b],R)∋w; [a,b]∋∀x→w(x)=x
>> (つまり,wは恒等写像)とした場合が
>> 実数の区間上の複素数値関数のリーマン積分の定義と言えますよね?
> それは簡単なものを複雑に定義しようとしていますね.

言い方が不味かったでしょうか。
「実数の区間上の複素数値関数のリーマン積分の定義と一致しますよね?」
では如何でしょうか?

>> 因みに実定積分の定義として
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_definite_integral__00.jpg
>> は正しいですよね。
>> 集合内の"x_j∈(x_{j-1},x_n) (where j=1,2,…,n-1),n∈\setminus{0}"は
>> 全分割を網羅してます。
> 全くの間違いです.
> 多分, Riemann の上積分, 下積分の話で混乱しています.
：
> 両方を定義して, 「一致する場合に」という話になっていなければ
> 駄目です. \min なのも駄目なところです.
> ま, 普通は Riemann 和の |\Delta| \to 0 での極限が
> 存在するとき, その値を積分値とするわけですが.

大変有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_definite_integral__01.jpg
でいいのですね。
minだと特殊なケースのみを扱っている事になり,またfは[a,b]で連続とは限らない(区分的なら連続の場合など)ので分割の各ピースにminが存在するとも限りませんでしたね。

>> 直径1の球面でしたね。
> それはその実現の場合.

ん? "実現の場合"とはどういう意味でしょうか?
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_diverges_to_infty_in_complex__00.jpg
に依ると,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Riemann_sphere__04.jpg
のようにC∪{∞}と同一視できる全単射写像fが存在して初めてこの球面RをRiemann 
sphereと呼ぶのでしょうか?

>>> 貴方の R は半径 1/2 の球面ですね. ともあれ, その球面から,
>>> 「複素多様体」としての性質以外の側面を除いたものが Riemann 球面です.
>>> 半径が 1 であるとか 1/2 であるとかは忘れるのです.

そうしますと,先ず複素多様体の定義が先にあって,それからRiemann球面が定義されるものでしょうか?
以外の側面とはどういったものでしょうか?

『「複素多様体」としての性質以外の側面を除いたもの』とは,つまり,Riemann球面(複素多様体が定義された正実数半径の球面)に何か条件が加わった途端にRiemann球面とは呼べなくなるのでしょうか?

>> ご解説大変有難うございます。
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_manifold__05.pdf
>> を再度読み返しているのですが"「複素多様体」としての性質"とは
>> 具体的にどのような性質の事なのでしょうか?
> その上でどんな関数が正則関数であるかが定義出来るような構造のことです.

つまり,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Riemann_sphere__04.jpg
という球面R(半径は任意の正実数)が複素多様体をなすようなAltas A
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_manifold__05.pdf
が存在して初めてこの球面RをRiemann球面と呼ぶ事が可能になるのですね。