工繊大の塚本です.

In article <kcla83$kjj$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29243__01.jpg
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29243__02.jpg
> にて∫_ε^1|ln(u)|^2|u^h u^{s-1}/(exp(u)-1)||du|は何で抑えれるのでしょうか?

だから, 普通の du についての積分ですから,
 |du| と書くことはありません.
 \int_\epsilon^1 の部分は有限閉区間上での連続関数の積分ですから,
値は定まります. \int_1^\infty の部分だけ積分の収束を議論すれば良い.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29245__00.jpg
> とすればいいのですね。然し,Prop205.29243の証明を終わらせる必要がありますね。

上述の通り.

> これは
> ∫_ε^∞(ln(u))^2u^{h+s-1}/(exp(u)-1)duが∞か積分不確定ならば
> ∫_ε^∞|(ln(u))^2u^{h+s-1}/(exp(u)-1)|du=+∞と自動的になってしまうので,
> ∫_ε^∞(ln(u))^2u^{h+s-1}/(exp(u)-1)duは収束しか有り得ない.
> という主張でございます。

いずれ [\epsilon, 1] では |\log(u)| < u ではないので,
その議論は無意味です.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__05.pdf
> と訂正してみました。

そこで述べられている f(x) は定義も性質も性質の証明も出鱈目です.

> (ln(u))^2の箇所を何故かln(u^2)としてしまってましたね。
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__06.pdf
> と訂正致しました。これで如何でしょうか?

 \sum_{n=0}^\infty |h|^n |\log u|^{n+2}/(n+2)!
  \leq \sum_{n=0}^\infty |h|^n |\log u|^{n+2}/n!
ではありますが, そのことは
 |\sum_{n=0}^\infty h^n (\log u)^{n+2}/(n+2)!|
  \leq |\sum_{n=0}^\infty h^n (\log u)^{n+2}/n!|
のような不等式が成立することを意味しません.

> ∫_1^∞ dx/xはC内での積分(つまり,複素線積分)の場合と
> R内でのただの積分と見た場合とでは意味が全く異なってしまうという事なのですね?

無限路での複素線積分が収束しないということを
「無限大」を用いて表現することはありません.
ただ, それは「収束しない」と述べるだけのことです.
実数の無限区間上の正値関数の積分であれば,
それが収束しないということを「無限大」になると表現できます.

ということで, 以下の貴方の議論は大方無意味です.
 
> 故に,複素数での積分では複素数値,∞,振動のいずれかの結論がありうるのですね。

違います. 収束して複素数の値を持つか, 収束しないかのどちらかです.

以下, 改行がなくなっていて読み取れない所がありますので,
復元できた主なところだけコメントします.

> ∫_0^∞ x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dxは
> 複素数での積分であることは明らかですから
> Riemann積分とは呼べないのではないでしょうか?

実数の区間上の複素数値関数に対しても Riemann 積分,
 Riemann 広義積分は考えられます.

> 複素広義積分と呼ぶべきだと思いますが。

複素数値関数の積分であることを複素広義積分と呼んで
区別することには意味がないでしょう.

> 左様です。複素広義積分∫_0^∞ x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dxは発散する
> と言う意味のつもりです。

「収束しない」の言い換えとして「発散する」と表現するなら,
そう表現すれば良いでしょう.

> 拡張された複素平面C∪{∞}に対して,
> 未拡張の複素平面Cを有限複素平面と呼ぶのだそうです。

それは良い考えではありませんね. 採用しない方が良い.

> In article <121217191357.M0113843@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 「 \int_1^\infty dx/x は無限大である」というときの「無限大」と
> > 「複素数平面に無限大を付け加えたリーマン球を考える」というときの
> > 「無限大」とは違うものだから, 混同するな, と言っています.
> えっ!!??

驚くことではありません.

> C∪{∞}とlim_{s→0}1/s=∞との∞は異なるものなのですかっ!?

それは又違うものを持ち出しましたね.
複素数平面上の有理形関数 1/s をリーマン球に値を取る関数と
考えるなら, 同じと考える立場もあるでしょう.
 \int_1^\infty dx/x とは違う話です.

> 厳密に区別したい場合はどうするのでしょうか?

普通, 混同が生ずる場合はない筈です.

> > 複素関数として考えても z/(\exp(z) - 1) は z = 0 にまで
> > 正則関数として拡張できたのですよ.
> え? z/(exp(z) - 1)はz=0では非正則ではないのですか?

 f(z) = z/(\exp(z) - 1)  (z \neq 0), f(0) = 1, と定義した
 f(z) が z = 0 で正則であることは何度も議論しました.

> 何故ならばz=0の近傍,特にz=0の左側にはf(z)は存在しないので

 (-1)/(\exp(-1) - 1) = e/(e - 1) は存在しませんか.

> えっ?  fは[0,1]の外ではどのように定義されてるのですか?
> (1,∞)ではf(x):=x/(exp(x)-1)と定義すればいいことは容易に想像付きますが,
> (-∞,0)ではf(x):=-x/2+1と定義すればいいのでしょうか?

どこから -x/2 + 1 が出て来たのか, 興味があります.

> > 一番厳しい定義でも C^\infty です.
> 一番厳しい定義とはどのようなものでしょうか?

 [0, 1] を含む開集合上で C^\infty である関数の制限であること.

> しかし,1ページの末行からは∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dxとなって
> 複素線積分の話になるので予め(気分がでるように)C^ωにしておきました。

自分で証明もできないことを述べるものではありません.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__05.pdfでなら
> いいのですよね?

そこでの「証明」は証明になっていません.
何を証明すれば正則性が言えるのか, すら分かっていない.
出鱈目です.

> > \lim_{a \to +0} (1/(-s+1)) a^s f(a) であるとか,
> これはa=0ではないのでf(a)は普通に定義されてると思いますが
> > \lim_{a \to +0} (1/((-s+1)(-s))) a^{s-1} f'(a) であるとかが
>これも同様に普通に定義されてる思います。

文章を変なところで切らないで下さい.

> > 0 であるとして良いのは,

ここまで一続きです. 但し, これは私がうっかりしていました.

 \lim_{a \to +0}
  {(1/(-s+1)) a^{s-1} f(a) + (1/((-s+1)(-s))) a^s f'(a) +
    \cdots + (1/((-s+1)(-s)\cdots(-s-N))) a^{s+N} f^{(N+1)}(a)}
 = \lim_{a \to +0} a^{s-1} \times
    {(1/(-s+1)) f(a) + (1/((-s+1)(-s))) a f'(a) +
     \cdots + (1/((-s+1)(-s)\cdots(-s-N))) a^{N+1} f^{(N+1)}(a)}

において, 

 \lim_{a \to +0}
    {(1/(-s+1)) f(a) + (1/((-s+1)(-s))) a f'(a) +
     \cdots + (1/((-s+1)(-s)\cdots(-s-N))) a^{N+1} f^{(N+1)}(a)}
 = 1/(-s+1) f(0) \neq 0

を示すには,

 \lim_{a \to +0} f(a) = 1,
 \lim_{a \to +0} a^k f^{(k)}(a) = 0  (1 \leq k \leq N+1)

が必要ですが, そこで,
 
 \lim_{a \to +0} f^{(k)}(a) = f^{(k)}(0)  (0 \leq k \leq N+1)

となっていることを使っているでしょう, ということです.
 
 \lim_{a \to +0}
    {(1/(-s+1)) f(a) + (1/((-s+1)(-s))) a f'(a) +
     \cdots + (1/((-s+1)(-s)\cdots(-s-N))) a^{N+1} f^{(N+1)}(a)}
 = (1/(-s+1)) f(0) \neq 0

があって, 初めて,

 \lim_{a \to +0}
  {(1/(-s+1)) a^{s-1} f(a) + (1/((-s+1)(-s))) a^s f'(a) +
    \cdots + (1/((-s+1)(-s)\cdots(-s-N))) a^{s+N} f^{(N+1)}(a)}
 = \lim_{a \to +0} a^{s-1} \times
    {(1/(-s+1)) f(a) + (1/((-s+1)(-s))) a f'(a) +
     \cdots + (1/((-s+1)(-s)\cdots(-s-N))) a^{N+1} f^{(N+1)}(a)}
 = (\lim_{a \to +0} a^{s-1})
   \times (\lim_{a \to +0}
           {(1/(-s+1)) f(a) + (1/((-s+1)(-s))) a f'(a) +
            \cdots + (1/((-s+1)(-s)\cdots(-s-N))) a^{N+1} f^{(N+1)}(a)})

が発散することが分かります.

> はぁ
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__05.pdfとした
> のですが何処からNGとなりましょうか?

貴方の書いているもので, [8.17] はどのように示されるのですか.

 s が実数の場合は普通の正値関数の積分ですから
どうすれば良いかは良く分かっていなければなりません.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__10.jpgとなりましたが
> s=1の時はどうすれば+∞が導けますでしょうか?

 1/(\exp(x) - 1) = (1/x) (x/(\exp(x) - 1))
であり, (0, 1] で x/(\exp(x) - 1) \geq 1/(e - 1) なのですから
 1/(\exp(x) - 1) \geq (1/(e - 1)) (1/x) です.
 \int_0^1 dx/x = \infty は御存じですね.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp