工繊大の塚本です.

In article <kfmtdu$5p3$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> そこの箇所は
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__17.jpg
> のように訂正致しました。

それは単に証明することを放棄しただけですね.

> これは
> f(x) = x/(\exp(x) - 1)  (x > 0), f(0) = 1, f(x) = 1 - x/2  (x < 0)
> とfを定義した場合に就いてですね。

どんな定義にせよ, 何を証明すべきであるか, が分かっていますか.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__05.pdf
> ではfの定義域は[0,1]なので0の近傍は存在しませんね。
> 従って,fはx=0にて非正則なのですね。

 [0, 1] 上で定義された関数 f が C^\infty 級であるかどうかは
 [0, 1] の近傍上の C^\infty 級関数の [0, 1] への制限であるかどうか
で決まります. 「 0 の近傍は存在しません」というのは何を述べているの
ですか.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__06.jpg
> の箇所ですね。

それらの式自体, 折角正の値を取るものを上から評価しようとしている時に,
負の値を取るものを混ぜているという意味で, 全く無意味ですが,
その直ぐ後に複素線積分に戻しているのが更に間違っている,
と申し上げました.

> では∫_{C_ε}|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|u^{s-1}|/|exp(u)-1| |du|
> から先は一体どのようにすればいいのでしょうか?

上からの評価を与えましょう.

> つまり, 関数fをリーマン面(即ち,拡大された複素平面)で考えた場合の話なのですね。 
「値域」をです.

> 複素線積分はリーマン面ではなく複素平面でのみ考察される概念なのですね。

今は, 「値」が収束しているかどうかだけが関心事です.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_line_integral__00.jpg
> でいいのでしたね。

それは「複素線積分」の定義でしょう.
今議論しているのは, 実数の区間上の複素数値関数のリーマン積分の定義
です.
 
> In article <130204203516.M0100611@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > リーマン球は「半径 1 の球面」ではありませんよ.
> 
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Riemann_sphere__02.jpg
> という風に半径1の球面を定義域とした関数fの像f(R)の事を
> Riemann球面と呼ぶのでしたね。

貴方の R は半径 1/2 の球面ですね. ともあれ, その球面から,
「複素多様体」としての性質以外の側面を除いたものが Riemann 球面です.
半径が 1 であるとか 1/2 であるとかは忘れるのです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp