ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_12015__05.pdf
>> と再訂正致しました。これで宜しいでしょうか?
> [5.7] の式で (\alpha \leq) |a_n|^{1/n} は誤りです.
> \alpha \leq \sup_{k \leq n} |a_n|^{1/n} であっても,
> \alpha \leq |a_n|^{1/n} を満たす n (\geq k) の存在は出て来ません.
> もう少し論理に注意深くあるべきでしょう.

そうでした。今,R^+∋α=lim_{k→∞}sup{|a_n|^{1/n};n≧k}なので
N∋∃K; K<∀nに対して,|a_n|^{1/n}<α且つ,lim_{n'→∞}a_{n'}=αなる部分列(a_{n'})_{K<n'∈N}が存在する場合も有り得ますね。
このようなケースでは(α≦)|a_{n_k}|^{1/n_k}とは言えませんね。

故に[5.7]の箇所は
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_12015__07.jpg
とすべきなのですね。