ご回答誠に有難うございます。

>> 成るほど納得です。一体(iii)どう対処すればいいのでしょうか?
> 素直に示すだけです.

そっそうですか。

>  \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}
>   = \limsup_{n \to \infty} (|a_n|^{1/n})^{n/(n-1)}
> を示すには, \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1\n} = \alpha が
：
>  \limsup_{n \to \infty} (|a_n|^{1/n})^{n/(n-1)} = \alpha
> であることが分かります.

大変有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_12015__00.pdf
お陰さまで漸く自分なりに解釈できました。

lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}が振動する場合は振動幅が急激に大きくなる場合は,
確かにlim_{n→∞}|a_n|^{1/n}=lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n})^{n/(n-1)}は成立しませんね。