工繊大の塚本です.

In article <k2qqmr$ceu$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [1]を単純に式変形したものが[4]なので
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12015__00.jpg
> の上から7行目から証明が始まっているのですが、、

ああ, A_1 = B_1 と A_2 = B_2 は同値であり,
 A_2 = B_2 と A_3 = B_3 は同値である, とかの議論ですか.

> 「[1]⇔[4]」である事はただ表記を書き換えただけなので自明かと思われます。

 \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}
  = \limsup_{n \to \infty} (|a_n|^{1/n})^{n/(n-1)}

が目標であると, 最初から書けば良い.
 
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12015__00.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12015__01.jpg
> の証明の出だし4行は単に証明の方針を述べているだけです。 
 
で, 証明の最初は, と見ると,
 \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} = \ell < 1 とすると,
 \exists K \in \mathbf{N} such that, if k > K,
  \sup_{n \geq k} |a_n|^{1/n} < 1
であるというのは良いし, |a_n|^{1/n} < 1 でもあるから,
 (|a_n|^{1/n})^{n/(n-1)} < |a_n|^{1/n} ゆえ,
 \sup_{n \geq k} (|a_n|^{1/n})^{n/(n-1)} < 1
というのも結構ですが,
 \ell \leq \sup_{n \geq k} (|a_n|^{1/n})^{n/(n-1)}
には何の根拠もありませんから,
全然証明にはなっていません.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp