工繊大の塚本です.

In article <k51ku7$bj5$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_12015__05.jpg
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_12015__06.jpg
> と(iii)にて振動の場合も考慮してみました。これなら如何でしょうか? 

それは証明になっていません.

例えば a_n = (n-1)^n としましょう.

  |a_n|^{1/n} (1 - (|a_n|^{1/n})^{(n/(n-1))-1})
   = (n-1) (1 - (n-1)^{1/(n-1)})
   = - ((1/(n-1))^{-1/(n-1)} - 1)/(1/(n-1))

ですから 1/(n-1) = x とおくと,

  \lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} (1 - (|a_n|^{1/n})^{(n/(n-1))-1})
   = - \lim_{x \to +0} (x^{-x} - 1)/x
   = - \infty

となります. (\lim_{x \to +0} x^{-x} = 1,
 (x^{-x})' = - (1 + \log(x)) x^{-x} に注意.)
このことから, 何の条件もなしでは, |a_n| > 0 でも
 \lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} (1 - (|a_n|^{1/n})^{(n/(n-1))-1})
は 0 とは限らないことが分かります.

更に, b_n を b_{2m} = a_{2m}, b_{2m+1} = 0 と定義すると,
  \lim_{n \to \infty} |b_n|^{1/n} (1 - (|b_n|^{1/n})^{(n/(n-1))-1})
は存在しません.

 (iii) が証明になっていないことはお分かりいただけますでしょうか.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp