工繊大の塚本です.

In article <k6k9nu$fd9$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 成るほど納得です。一体(iii)どう対処すればいいのでしょうか? 

素直に示すだけです.

  \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}
   = \limsup_{n \to \infty} (|a_n|^{1/n})^{n/(n-1)}

を示すには, \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1\n} = \alpha が
 \alpha = +\infty, \alpha は正の実数, \alpha = 0 の
各場合について考える. \alpha = +\infty, \alpha = 0 の場合は
何とか出来るでしょうから, \alpha が正の実数の場合を与えましょう.

 \alpha が正の実数のとき,
 0 < \alpha - \epsilon を満たす任意の正数 \epsilon に対して,
ある自然数 N があって, n \geq N ならば

  \alpha \leq sup_{k \geq n} |a_k|^{1/k} < \alpha + \epsilon/2

となります. このことは, k \geq N のとき常に

  |a_k|^{1/k} < \alpha + \epsilon/2

であり, 一方, 任意の自然数 n \geq N について,
 k_n \geq n となる自然数 k_n があって,

  \alpha - \epsilon/2 < |a_{k_n}|^{1/k_n}

となることを意味します. 正の実数 \beta について,
 \lim_{n \to \infty} \beta^{n/(n-1)} = \beta ですから,
ある自然数 M \geq N で, n \geq M であれば,

  (\alpha + \epsilon/2)^{n/(n-1)} < \alpha + \epsilon,
  \alpha - \epsilon < (\alpha - \epsilon/2)^{n/(n-1)}

が成立するようなものが存在します. このとき,
任意の自然数 k \geq M に対して,

  (|a_k|^{1/k})^{k/(k-1)} < (\alpha + \epsilon/2)^{k/(k-1)}
    < \alpha + \epsilon

であり, n \geq M ならば

  sup_{k \geq n} (|a_k|^{1/k})^{k/(k-1)} \leq \alpha + \epsilon

となります. 一方, 任意の n \geq M (\geq N) に対して
上の k_n を取れば,

  \alpha - \epsilon < (\alpha - \epsilon/2)^{k_n/(k_n-1)}
     < (|a_{k_n}|^{1/k_n})^{k_n/(k_n-1)}

となりますから,

  \alpha - \epsilon < \sup_{k \geq n} (|a_k|^{1/k})^{k/(k-1)}

であることが分かります. 従って, 任意の正数 \epsilon について,

  \limsup_{n \to \infty} (|a_n|^{1/n})^{n/(n-1)}
   = \lim_{n \to \infty} sup_{k \geq n} (|a_k|^{1/k})^{k/(k-1)}

は, 不等式

  \alpha - \epsilon
   \leq \limsup_{n \to \infty} (|a_n|^{1/n})^{n/(n-1)}
   \leq \alpha + \epsilon

を満足しますから,

  \limsup_{n \to \infty} (|a_n|^{1/n})^{n/(n-1)} = \alpha

であることが分かります.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp