ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_12015__00.pdf
>> お陰さまで漸く自分なりに解釈できました。
>
> 大きな勘違いがあるようですが,
> \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}
> を考えているのは,
> \lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}
> が存在しない場合を考慮しているからで,
> \lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}
> が存在する場合には pdf にあるような大げさな話をしなくても
> \lim_{n \to \infty} |a_n|^{1\n} = \lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/(n-1)}
> は証明できますが,

 すみません。limsup_{n→∞} |a_n|^{1/n}∈[0,+∞)の場合は
どうすれば簡潔に示せるのでしょうか?

> \lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}
> が存在する場合の話をしただけでは
> \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}
>  = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/(n-1)}
> を証明したことにはなりませんし,
> 収束半径の話をしたことにもなりません.

取りあえず
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_12015__01.pdf
と証明できました。