ご回答誠に有難うございます。

>> でも問はx^2≡-1(mod 5^k)の解を一つ見つけよですから
>> x_k=x_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+ \cdots +5^{k-1}x^{k-1}
> だから, 右辺に x_i を使うなら, 左辺は b_k にしないと
> 意味を成しません.

ここがどうしても分かりません。
左辺はx_kとしてこれはx_k:=x_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+ \cdots +5^{k-1}x^{k-1}と置く事によっ
て,
x^2≡-1(mod 5^k)を満たすよという事を示すために置いているだけです。

意味を成さないとはどういうことでしょうか???

>  b_k = x_0 + 5 x_1 + 5^2 x_2 + \cdots + 5^{k-1} x_{k-1}
> です.

うーん,b_kとx_kの違いは何なのでしょうか?

>> でx_1,x_2,\dots,5^{k-1}らが0,1,2,3,4でなくても
>> (0,1,2,3,4以外だと確かに5進表示にはなりませんが)
>> 問は5進表示で表せとは言ってなく,
>> 取りあえずx_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+\cdots+5^{k-1}x^{k-1}
>> と一つ解を見つけたからいいのではないでしょうか?
>  5 進表示となるようにしておけば,
>  x^2 ≡ -1  (mod 5^k) となる数 x = b_k が
>  0 ≦ b_k < 5^k の範囲に取れることが分かり, 更に,
>  5 進展開での 1 桁目 x_0 が 2 であって 0 ≦ x < 5^k にある
>  x^2 ≡ -1  (mod 5^k) となる数としては,
>  b_k がただ一つのものであることも,
> 少しの考察で分かることになります.

なるほど。

>> うーん,それともx_1,x_2,\dots,5^{k-1}らが0,1,2,3,4でないなら
>> x_kの解を具体的(一意的)には表した事にはならないから
>> 解を一つ見つけた事はならないという事でしょうか?
> 一つ見つければ良いとは言いながら, やはり
> きれいな見つけ方をしないと先に進めません.

なるほど。そうでしたか。そのような意図があられたのですね。

> 山本芳彦著「岩波講座 現代数学への入門 数論入門１」岩波書店の
> 第５章ディリクレ指標の第５節ヘンゼルの補題
> (a) Z/p^kZ におけるヘンゼルの補題の最後, p. 139 にある
>  k と x_{k-1} と b_k と (b_k)^2 + 1 のきれいな表を御覧なさい.
> この表の美しさの元は, x_{k-1} の取り方が
>  0 ≦ x_{k-1} < 5 を満たすようになされているところにあります.
>  x_0 = 3 とするとどうなるか, はお考え下さい.

ちょっと考えて見ます。

>> また手直ししました。
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_...
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_...
>> 確認しましたので今度こそ大丈夫かと思います。
> 【２】は全然直っていないではないですか.
> 私が採点するなら, 二行目で零点を付けて御仕舞にします.

5進法で表すとしたら【2】の所でx_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+…+5^{k-1}x_{k-1}の各x_0,x_1,
…,x_{k_1}なのに
x_kが0≦x_k<5の範囲に入っていないとx_{k+1}はx_k=x_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+…+5^{k-1}
x_{k-1}+5^kx_kのx_{k+1}は全く5進数になってませんね。
なのでb_kという文字を使わなければならないのですね。

> # 一行目も英文としては意味不明だから,
> # そこで御仕舞にしても良いかも知れない.

一行目は任意のkに対して必ずx^2≡-1(mod 5^{k+1})の解が存在する事を保証して
それでは実際に具体的に解を求めていきましょう。
という意味の宣言みたいなもので書いたのですが,,,

> 左辺に x_k を用いて, 右辺では \ell_i を使い,
>  k は 1 から, i は 0 から始めるなら,
>
>   x_1 = \ell_0,
>   x_2 = \ell_0 + 5 \ell_1
>   x_3 = \ell_0 + 5 \ell_1 + 5^2 \ell_2
>   ............
>
> と進んで行きます. だから,
>  x_1 = 2 = \ell_0 だと申し上げたのです.
> 「 x_1 = 2 + 5 \ell_0 」で「 \ell = 0 」というのは
> 全くの誤りです.

分かりかけてきました。

>
>  x_k = x_{k-1} + 5^{k-1} \ell_{k-1} という式が
>  k = 1 でも成立するようにしたいのなら,
>  x_1 = x_0 + 5^0 \ell_0 = x_0 + \ell_0 ですから,
>  x_0 = 0 と決めておくしかないです.
>
> > えっ? つまり,2x_kは法5に関して可逆ではないのでしょうか?
>
>  "invertible" というのは「可逆」ということですよ.
> 貴方は逆に理解されているようです.

すいません。了解いたしました。

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol9.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol10.JPG
でOKだと思います。

ただ???の箇所が分かりませんでした。ここの理由は何といえますでしょうか?