工繊大の塚本です.

In article <9d95d9d5-513c-40b8-bfed-7ac34d3b73f5@l17g2000yqe.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <101117181018.M0121750@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > だから, 右辺に x_i を使うなら, 左辺は b_k にしないと
> > 意味を成しません.
> 
> ここがどうしても分かりません。
> 左辺はx_kとしてこれはx_k:=x_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+ \cdots +5^{k-1}x^{k-1}と
> 置く事によって,
> x^2≡-1(mod 5^k)を満たすよという事を示すために置いているだけです。
> 
> 意味を成さないとはどういうことでしょうか???

 x^2 ≡ -1  (mod 5^k) を満たす x の代表として考えているのは,
 k = 1 のとき x =   2 = 2,
 k = 2 のとき x =   7 = 2 + 5 * 1,
 k = 3 のとき x =  57 = 2 + 5 * 1 + 5^2 * 2,
 k = 4 のとき x = 182 = 2 + 5 * 1 + 5^2 * 2 + 5^3 * 1,
等となっていくので, 右辺では
 x_0 = 2, x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 1, 等です.
左辺を x_k としたのでは,
 x_1 = 2, x_2 = 7, x_3 = 57, x_4 = 182, 等となり,
全く違う値のものになる. それを同じ文字 x_i で書き表したのでは
混乱するだけです. だから, 左辺には b_k を用いて,
 b_1 = 2, b_2 = 7, b_3 = 57, b_4 = 182, 等と Text では
書いてあるのです.

この理屈が理解できない人とは普通に会話することも難しい.

> 一行目は任意のkに対して必ずx^2≡-1(mod 5^{k+1})の解が存在する事を保証して

その保証は実際に解を構成することでしかなされません.

> それでは実際に具体的に解を求めていきましょう。
> という意味の宣言みたいなもので書いたのですが,,,

それなら "Then" などという意味不明の副詞を置くのではなく,
 "Now we shall show that ..." 位の分かりやすい文章にしましょう.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol9.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol10.JPG
> でOKだと思います。

 b_k = x_0 + 5 * x_1 + 5^2 x_2 + \cdots + 5^{k-1} x_{k-1}
とするのであれば, \ell_i は出てきませんし,
 x_k = \ell_0 + 5 * \ell_1 + 5^2 \ell_2 + \cdots + 5^{k-1} \ell_{k-1}
とするのであれば, b_k は出てきません.
ちゃんぽんになっている, b_k = x_{k-1} + 5^{k-1} \ell_{k-1}
という式は意味を成しません.
 b_k = b_{k-1} + 5^{k-1} x_{k-1} とするか,
 x_k = x_{k-1} + 5^{k-1} \ell_{k-1} とするかのどちらかです.

> ただ???の箇所が分かりませんでした。ここの理由は何といえますでしょうか?

 ((x_k)^2 + 1)/5^k + 2 x_k \ell_k ≡ 0  (mod 5) を解くと,
 \ell_k ≡ - (2 x_k)^{-1} ((x_k)^2 + 1)/5^k となる,
というだけです. 5^k/((x_k)^2 + 1) では分子分母が逆です.
# a ≠ 0 のとき, a x + b = 0 の解が
# x = - a^{-1} b であるのは宜しいでしょうか.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp