工繊大の塚本です.

In article <3415d585-0678-4bac-824e-5b07f159c838@b34g2000yqm.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> すいません。ご解説を何度も拝読してみたのですがどうして状況が把握できません。
> 取りあえず
> b_1≡2 (mod 5)の時はb_1≡-2 (mod 5)とで場合わけしてみて
> 下記のように考えみたのですが

ですから, x^2 ≡ -1  (mod 5^k) を満たす x = b_k を
 b_k = x_0 + 5 x_1 + … + 5^{k-1} x_{k-1}  (0 ≦ x_i ≦ 4) の
形で *ひとつ* 求めたいのですから,
どちらかに決めて出発すればよいのです.

> 途中から先に進めなくなってしまいました。
> どうかご教授下さい。

貴方が書いているものは文章になっていないので, 読めません.
英文にすれば論理的な文章になるわけでもないので, 先ず,
和文で論理的に書く訓練をされた方が宜しいでしょう.

私の書いたものを少し引き延ばして解説しましょう.

 k = 1 の時は, (b_1)^2 ≡ -1  (mod 5) とするために,
 b_1 = x_0  (0 ≦ x_0 ≦ 4) は,
 x_0 = 2 と x_0 = 3 (≡ -2  (mod 5)) の二通りの取り方が
ありますが, x_0 = 2 の方を取ることにします.

 k = 2 の時は, (b_2)^2 ≡ -1  (mod 5^2) となる b_2 を
 b_2 = 2 + 5 x_1  (0 ≦ x_1 ≦ 4) の形で求めることになります.
 (2 + 5 x_1)^2 = 2^2 + 2*2*5 x_1 + 5^2 (x_1)^2
 ≡ -1 + (2^2 + 1) + 2*2*5 x_1  (mod 5^2) で, 2^2 + 1 = 5 * 1 ですから,
 (2 + 5 x_1)^2 ≡ -1 + 5 (1 + 2*2 x_1)  (mod 5^2) です.
結局, (2 + 5 x_1)^2 ≡ -1  (mod 5^2) となるには,
 1 + 2*2 x_1 ≡ 0  (mod 5) となれば良いことが分かります.
そのような x_1  (0 ≦ x_1 ≦ 4) は x_1 = 1 と一意に定まります.
 b_2 = 2 + 5 * 1 = 7 ですね.

 k = 3 の時は, (b_3)^2 ≡ -1  (mod 5^3) となる b_3 を
 b_3 = 2 + 5 * 1 + 5^2 x_2 = b_2 + 5^2 x_2  (0 ≦ x_2 ≦ 4) の
形で求めることにします.
 (b_2 + 5^2 x_2)^2 = (b_2)^2 + 5^2 (2 b_2) x_2 + 5^4 (x_2)^2
 ≡ (b_2)^2 + 5^2 (2 b_2) x_2  (mod 5^3) で,
 b_2 ≡ 2  (mod 5) に注意すれば,
 (b_2 + 5^2 x_2)^2 ≡ -1 + ((b_2)^2 + 1) + 5^2 (2*2 x_2)  (mod 5^3) と
なります.  (b_2)^2 + 1 = 7^2 + 1 = 50 = 5^2 * 2 ですから,
 (b_2 + 5^2 x_2)^2 ≡ -1 + 5^2 (2 + 2*2 x_2)  (mod 5^3) であり,
 (b_2 + 5^2 x_2)^2 ≡ -1  (mod 5^3) となるには,
 2 + 2*2 x_2 ≡ 0  (mod 5) となれば良いことが分かります.
そのような x_2  (0 ≦ x_2 ≦ 4) は x_2 = 2 と一意に定まります.
 b_3 = b_2 + 5^2 * 2 = 57 ですね.

 k = 4 の時は, (b_4)^2 ≡ -1  (mod 5^4) となる b_4 を
 b_4 = 2 + 5 * 1 + 5^2 * 2 + 5^3 x_3
 = b_3 + 5^3 x_3  (0 ≦ x_3 ≦ 4) の形で求めることにします.
 (b_3 + 5^3 x_3)^2 = (b_3)^2 + 5^3 (2 b_3) x_3 + 5^6 (x_3)^2
 ≡ (b_3)^2 + 5^3 (2 b_3) x_3  (mod 5^4) で,
 b_3 ≡ 2  (mod 5) に注意すれば,
 (b_3 + 5^3 x_3)^2 ≡ -1 + ((b_3)^2 + 1) + 5^2 (2*2 x_3)  (mod 5^4) と
なります.  (b_3)^2 + 1 = 57^2 + 1 = 3250 = 5^3 * 26 ですから,
 (b_3 + 5^3 x_3)^2 ≡ -1 + 5^3 (26 + 2*2 x_2)  (mod 5^4) であり,
 (b_3 + 5^3 x_3)^2 ≡ -1  (mod 5^4) となるには,
 26 + 2*2 x_3 ≡ 1 + (-1) x_3 ≡ 0  (mod 5) となれば良いことが分かります.
そのような x_3  (0 ≦ x_3 ≦ 4) は x_3 = 1 と一意に定まります.
 b_4 = b_3 + 5^3 * 1 = 182 ですね.

以下は同様で, b_k = x_0 + 5 x_1 + … + 5^{k-1} x_{k-1}  (1 ≦ x_i ≦ 4) が
 (b_k)^2 ≡ -1  (mod 5^k) と, b_k ≡ 2  (mod 5) を満たしているとします.
後者の条件は, 要するに x_0 = 2 としているということです. このとき,
 b_{k+1} = x_0 + 5 x_1 + … + 5^{k-1} x_{k-1} + 5^k x_k, 即ち,
 b_{k+1} = b_k + 5^k x_k  (0 ≦ x_k ≦ 4) を,
 (b_{k+1})^2 ≡ -1  (mod 5^{k+1}) となるように定めるには
どうすればよいかを考えます.
 (b_k + 5^k x_k)^2 = (b_k)^2 + 5^k (2 b_k) x_k + 5^{2k} (x_k)^2
 ≡ (b_k)^2 + 5^k (2 b_k) x_k  (mod 5^{k+1}) で,
 b_k ≡ 2  (mod 5) に注意すれば,
 (b_k + 5^k x_k)^2 ≡ -1 + ((b_k)^2 + 1) + 5^2 (2*2 x_k)  (mod 5^{k+1}) と
なります.  (b_k)^2 + 1 ≡ 0  (mod 5^k) でしたから,
 (b_k)^2 + 1 = 5^k a_k となる a_k を取れば,
 (b_k + 5^k x_k)^2 ≡ -1 + 5^k (a_k + 2*2 x_k)  (mod 5^{k+1}) であり,
 (b_2 + 5^2 x_2)^2 ≡ -1  (mod 5^{k+1}) となるには,
 a_k + 2*2 x_k ≡ a_k + (-1) x_k ≡ 0  (mod 5) となれば良いことが分かります.
そのような x_k  (0 ≦ x_k ≦ 4) は x_k ≡ a_k  (mod 5) を満たすものですから,
一意に定まります.

かくして, b_{k+1} = b_k + 5^k x_k  (0 ≦ x_k ≦ 4) で,
 (b_{k+1})^2 ≡ -1  (mod 5^{k+1}), b_{k+1} ≡ 2  (mod 5) を
満たすものが, また, 得られたことになります.

お分かりいただけますでしょうか.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp