工繊大の塚本と申します.

In article <322ad3d1-5b94-4117-9968-31a2ae869430@c13g2000vbr.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 例5.39を
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_first.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_second.jpg
> に倣って
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39.jpg
> のようにして解いていったのですが頓挫してしまいました。

テキストでは, 例えば, (b_1)^2 ≡ -1  (mod 5) となる b_1 は,
 2 と -2 の二つ取り方があるところを, b_1 = 2 と決めて
考えるようにしているのに, 貴方は色々な取り方があるところを
そのままにして考えているので, 分かり難くなっているようです.
 
> どのように同様の操作を続けると
> b_k≡x_0+5x_1+5^2x_2+…+5^{k-1}x_{k-1} (mod p^k) が
> 導けるのでしょうか?

 b_1 = 2 とし, b_k  (k ≧ 1) が
 (b_k)^2 ≡ -1  (mod 5^k) と
 b_k ≡ 2  (mod 5) を満たすように与えられたとき,
 b_{k+1} を, (b_{k+1})^2 ≡ -1  (mod 5^{k+1}) と
 b_{k+1} ≡ b_k  (mod 5^k) との双方を満たすように
具体的に与えましょう.

仮定から, (b_k)^2 + 1 ≡ 0  (mod 5^k) ですから,
 (b_k)^2 + 1 = 5^k a_k となる a_k があります.
 x_k ≡ a_k  (mod 5) であれば,
 b_{k+1} = b_k + 5^k x_k とおくと,
 (b_{k+1})^2 = (b_k + 5^k x_k)^2
 = (b_k)^2 + 2 b_k x_k 5^k + (x_k)^2 5^{2k}
 ≡ (b_k)^2 + 4 x_k 5^k  (mod 5^{k+1}) です.
ここで b_k ≡ 2  (mod 5) を用いて
第 2 項の 2 b_k を 4 に取り替えました.

更に, (b_{k+1})^2 ≡ -1 + (b_k)^2 + 1 + 4 x_k 5^k  (mod 5^{k+1})
 = -1 + a_k 5^k + 4 x_k 5^k
 ≡ -1 + x_k 5^k + 4 x_k 5^k  (mod 5^{k+1})  [a_k ≡ x_k  (mod 5) を用いた]
 ≡ -1  (mod 5^{k+1}) となり,
この b_{k+1} が条件を満たすものであることが分かります.
 b_{k+1} ≡ b_k  (mod 5^k) ですから,
 b_{k+1} ≡ 2  (mod 5) になっています.

なお, a_k ≡ x_k  (mod 5) となる x_k は
 0 ≦ x_k ≦ 4 を満たすように取れます.

結局, b_k = b_{k-1} + 5^{k-1} x_{k-1}
 = b_{k-2} + 5^{k-2} x_{k-2} + 5^{k-1} x_{k-1}
 = b_1 + 5 x_1 + 5^2 x_2 + … + 5^{k-1} x_{k-1} と
取れていることが分かります. x_0 = b_1 = 2 とすれば
 139 page のものとなりますね.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp