ご回答誠に有難うございます。

>> 実はここがいまいちよく分かりでした。
>> \ellはどうして\ell∈Zとして駄目なのでしょうか?
> 自然数 n の十進表示とは,  n < 10^k のとき,
>  n = a_1 + 10 * a_2 + \cdots + 10^{k-1} * a_k
> となる 0 ≦ a_i < 10 を満たす自然数 a_i を見つけて,
>  n = (a_k a_{k-1} \ldots a_2 a_1)_{10}
> と書くことです. 例えば 1 + 10 * 2 + 10^2 * 3 = 321 ですが,
>  321 = 11 + 10 * 41 + 10^2 * (-1) として
>  -1 41 11 としたものは十進表示ではありません.

確かに仰るとおりです。

>  0 ≦ a_i < 10 という条件は表示の一意性において重要です.
>  5 進表示でも同じです.

でも問はx^2≡-1(mod 5^k)の解を一つ見つけよですから
x_k=x_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+…+5^{k-1}x^{k-1}
でx_1,x_2,…,5^{k-1}らが0,1,2,3,4でなくても(0,1,2,3,4以外だと確かに5進表示にはなりませんが)
問は5進表示で表せとは言ってなく,
取りあえずx_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+…+5^{k-1}x^{k-1}
と一つ解を見つけたからいいのではないでしょうか?

うーん,それともx_1,x_2,…,5^{k-1}らが0,1,2,3,4でないならx_kの解を具体的(一意的)には表した事にはならないから
解を一つ見つけた事はならないという事でしょうか?

>> 一応,手直ししました。
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_...
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_...
>> で宜しかったでしょうか?
> 駄目です. 先に述べたように最初から駄目ですが,
>  x_1 = 2 = \ell_0 です. 他は見ません.

また手直ししました。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol7.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol8.JPG
確認しましたので今度こそ大丈夫かと思います。

>>> 「 2 x_k is not invertible module 5 」が逆であることも
>>> 分かるでしょう.
>> 逆とはどういう意味でしょうか?
>  (-1) * (2 x_k) ≡ 1  (mod 5) なのですから,
>  2 x_k は逆元 -1 を持ち,
> 「 2 x_k is invertible modulo 5 」です.
> # 勿論, 5 を法として, 0 に合同でなければ, いつでも invertible なのです.

えっ? つまり,2x_kは法5に関して可逆ではないのでしょうか?