工繊大の塚本です.

In article <12d7a423-e458-49bf-9b06-006ff73fd616@q36g2000vbi.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <101115192533.M0129369@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 証明の部分ではそうなっていて結構ですが,
> > 【２】とかでは
> >  x_k = x_0 + 5 x_1 + … + 5^{k-1} x_{k-1} といった
> > 無意味な式が残っているのが駄目です.
> 
> 最終的に
> x_k≡x_1+5x_2+5^2x_3+5^3x_4+…+5^{k-1}x_k(mod5^k)
> となる事を言いたいので目標として【2】を書いたのですが、、
> 添数がなんかずれてますね。

添数は 0 からでも 1 からでも, 好みの問題ですから,
統一して使われていればどちらでも構いませんが,
左辺と右辺で違う数を同じ x_i で書いてはいけません.
 x_2 は x^2 ≡ -1  (mod 5^2) となる整数の一つの代表
 7 なのですか, それとも
それを 7 = 2 + 5 * 1 と 5 進表示するときの 2 桁目の
 1 なのですか.
 
> Then letting x_k \in S_k 【1】,
> we can write x_k \in (x_1 + 5 x_2 + 5^2 x_3 + 5^3 x_4 + \cdots
> + 5^{k-1} x_k)  mod 5^k \subset S_k  【2】
> と記せば宜しかったでしょうか?

だから, 駄目です.
 x^2 ≡ -1  (mod 5^k) を満たす整数の一つの代表を x_k と
書きたいなら, 5 進展開の各桁を表す数は \ell_i とでもしなさい.
 5 進展開の各桁を x_i で表したいのであれば,
 x^2 ≡ -1  (mod 5^k) を満たす整数で, その 5 進表示で
表される数は b_k とでもしなさい.
 
> >  \ell_i は 0, 1, 2, 3, 4 のいずれかとしていることも
> > 明示した方が良いでしょう.
> 
> 実はここがいまいちよく分かりでした。
> \ellはどうして\ell∈Zとして駄目なのでしょうか?

自然数 n の十進表示とは,  n < 10^k のとき,
 n = a_1 + 10 * a_2 + \cdots + 10^{k-1} * a_k
となる 0 ≦ a_i < 10 を満たす自然数 a_i を見つけて,
 n = (a_k a_{k-1} \ldots a_2 a_1)_{10}
と書くことです. 例えば 1 + 10 * 2 + 10^2 * 3 = 321 ですが,
 321 = 11 + 10 * 41 + 10^2 * (-1) として
 -1 41 11 としたものは十進表示ではありません.
 0 ≦ a_i < 10 という条件は表示の一意性において重要です.
 5 進表示でも同じです.

> 一応,手直ししました。
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol5.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol6.JPG
> 
> で宜しかったでしょうか?

駄目です. 先に述べたように最初から駄目ですが,
 x_1 = 2 = \ell_0 です. 他は見ません.

> > 「 2 x_k is not invertible module 5 」が逆であることも
> > 分かるでしょう.
> 
> 逆とはどういう意味でしょうか?

 (-1) * (2 x_k) ≡ 1  (mod 5) なのですから,
 2 x_k は逆元 -1 を持ち,
「 2 x_k is invertible modulo 5 」です.
# 勿論, 5 を法として, 0 に合同でなければ, いつでも invertible なのです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp