遅くなりまして申し訳ありません。ご回答大変ありがとうございます。

何度も拝読しておるのですがなかなか把握できずに降ります。

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol1.JPG
のように実際にk=1,k=2,k=3,k=4,k=5の場合の解を具体的に求めてみたりしました。
何となく雰囲気は分かって来ました。

それで
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol2.JPG
のようにkについての帰納法で
x_k∈S_k…【1】の時 (x_1+5x_2+5^2x_3+5^3x_4+…+5^{k-1}x_k)mod5^k⊂S_k…【2】が成り立つ事
を試みたのですが
(iii)で(ii)の帰納法の仮定をどのように使って,
(x_1+5x_2+5^2x_3+5^3x_4+…+5^{k-1}x_k+5^kx_{k+1})mod5^{k+1}⊂S_{k+1}
が成立する事を示せばいいのか分からなくなってしまいました。
どのように帰納法の仮定を使えばいいのでしょうか?

因みに
(x_1+5x_2+5^2x_3+5^3x_4+…+5^{k-1}x_k)mod5^k
という記号はx_1+5x_2+5^2x_3+5^3x_4+…+5^{k-1}x_kを代表元とする法5^kの剰余類を表しています。


>>> b_k = x_0 + 5 x_1 + … + 5^{k-1} x_{k-1}  (0 ≦ x_i ≦ 4) の形で

どうして
x_k = x_0 + 5 x_1 + … + 5^{k-1} x_{k-1}と書かずに
b_k = x_0 + 5 x_1 + … + 5^{k-1} x_{k-1}という風にb_kを使うのかピンと来ません。

>> どうしてこの形と分かるのでしょうか?
> 自然数の 5 進表記を考えれば明らかでしょう.
：
> 特に, 5^k での合同類の代表元となる自然数であれば,
>  5 進 k 桁で表わすことが出来ます.

つまり,∀k∈Nに対し,{x∈Z;x^2≡-1(mod 5^k)}≠φ(∵某命題)が成り立つ事は分かりました。
そして∀k∈Nに対するx^2≡-1(mod 5^k)の解x_kとして
x_k≡x_1+5x_2+5^2x_3+5^3x_4+…+5^{k-2}x_{k-1} (mod 5^k)を満たすx_k
つまり,x_k=5^kl+x_1+5x_2+5^2x_3+5^3x_4+…+5^{k-2}x_{k-1} (但し,l∈Z)
と書けるというのが本題の主張なのですよね。この時,
(5^kl+x_1+5x_2+5^2x_3+5^3x_4+…+5^{k-2}x_{k-1})^2≡-1 (mod 5^k)が成立する筈なんです
よね。
これの成立はどうすれば確かめられるのでしょうか?

> 別に全ての場合を考える必要はないのです.
> # 何通り解があるか, は別の問題です.

これは仰るとおりでした。どれか一つ解を挙げて見せればいいのでしたね。