工繊大の塚本です.

In article <97bfb3f3-3313-46bc-982e-bb18c1dd7a04@n10g2000prj.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> すいません。b_kを使うのが完全に混乱してしまっております。

 x^2 ≡ -1  (mod 5^k) を満たす整数 x の, 0 ≦ x < 5^k を満たす
代表を, b_k でなく, x_k と書き表したいのであれば,
その５進表示に当たるものは,
 b_k = x_0 + 5 x_1 + … + 5^{k-1} x_{k-1} の代わりに
 x_k = \ell_0 + 5 \ell_1 + … + 5^{k-1} \ell_{k-1} と
右辺には違う文字の \ell を用いるべきで,
("l" は紛らわしいので "\ell" としました)
 
> 一応,自分なりに完成したのですが
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol4.JPG
> これでも大丈夫でしょうか?

証明の部分ではそうなっていて結構ですが,
【２】とかでは
 x_k = x_0 + 5 x_1 + … + 5^{k-1} x_{k-1} といった
無意味な式が残っているのが駄目です.

 \ell_i は 0, 1, 2, 3, 4 のいずれかとしていることも
明示した方が良いでしょう.

数学的帰納法の k = 1 のところで「 x_0 = 2 」とか
「 \ell_0 = 0 」とか書いてあるのは番号の付け方を
間違っています. 正しくは x_1 = 2 = \ell_0 です.

【７】の式以下で x^k は x_k の間違い.
 \ell_k を与える式で ((x_k)^2 + 1)/5^k とすべきところの
分子・分母が逆になっています.

x_k ≡ 2  (mod 5) であることも注意しておくべきでしょう.
だから - 2 x_k ≡ 1  (mod 5) なので,
「 2 x_k is not invertible module 5 」が逆であることも
分かるでしょう.

目に付いたところはそれ位でしょうか.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp