ご回答誠に有難うございます。

> 証明の部分ではそうなっていて結構ですが,
> 【２】とかでは
>  x_k = x_0 + 5 x_1 + … + 5^{k-1} x_{k-1} といった
> 無意味な式が残っているのが駄目です.

最終的に
x_k≡x_1+5x_2+5^2x_3+5^3x_4+…+5^{k-1}x_k(mod5^k)
となる事を言いたいので目標として【2】を書いたのですが、、
添数がなんかずれてますね。

Then letting xk∈Sk…【1】, we can write x_k∈(x_1+5x_2+5^2x_3+5^3x_4+…
+5^{k-1}x_k)mod5^k⊂S_k…【2】
と記せば宜しかったでしょうか?

>  \ell_i は 0, 1, 2, 3, 4 のいずれかとしていることも
> 明示した方が良いでしょう.

実はここがいまいちよく分かりでした。\ellはどうして\ell∈Zとして駄目なのでしょうか?

> 数学的帰納法の k = 1 のところで「 x_0 = 2 」とか
> 「 \ell_0 = 0 」とか書いてあるのは番号の付け方を
> 間違っています. 正しくは x_1 = 2 = \ell_0 です.

了解しました。

> 【７】の式以下で x^k は x_k の間違い.

これは失礼致しました。

>  \ell_k を与える式で ((x_k)^2 + 1)/5^k とすべきところの
> 分子・分母が逆になっています.

一応,手直ししました。

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol5.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol6.JPG

で宜しかったでしょうか?

> x_k ≡ 2  (mod 5) であることも注意しておくべきでしょう.

そうですね。x_k=x_1+5x_2+5^2x_3+5^3x_4+…+5^{k-1}と書ける事から5で割ったら余り2ですね。

> だから - 2 x_k ≡ 1  (mod 5) なので,

そうですね。

> 「 2 x_k is not invertible module 5 」が逆であることも
> 分かるでしょう.

逆とはどういう意味でしょうか?