ご回答大変ありがとうございます。

>  Google からの投稿が base64 で encode されているようです.
> 多くの site では binary 記事と判断されて, 配送が行われません.
> 実際, 私がいつも読んでいる site には配送されておりません.
>  Google から元テキストを再生して followup しておきます.

これは恐れ入ります。

>> 「∂Φ_i(x+t(y-x)/∂x_jはtを変数とするx+t(y-x)の導関数」
>> でしたね。
> そうではなくて, (∂Φ_i/∂x_j)(x+t(y-x)) は

すいません。このように表記しなければなりませんでしたね。

>  x + t(y - x) での Φ_i の x_j による偏微分の値であり,
>  Φ_i の x_j による偏導関数の x + t(y - x) での値です.

ありがとうございます。納得です。

>> その時,η:E→R;η(x):=|Φ'(x + t(y - x))|の定義域がEより大きくなるのですね。
>>
> いや x + t(y - x)  (x, y ∈ E, 0 ≦ t ≦ 1) では Φ' が
> 定義されていないようなことも有り得ますから, E として
> 何でも取れば良いというものではないということです.

そうでしょうね。あるx,yについては|Φ'(x + t(y - x))|が定義されない場合もあるでしょうね。
でも,この定義域Eを凸包の閉包の広げてやれば定義されるのですよね。

>> Dは2×2行列(∂/∂x ,∂/∂y)なのですね。
> その D は 2×1 (或いは 1×2) 行列値の微分作用素です.

なるほど。f=(f_1,f_2) (但し,f_1:R^2→R,f_2:R^2→R)とすると
Df=
[[∂f/∂x,∂f/∂x],
[∂f/∂y,∂f/∂y]]
なのですね。

D^2f=
[[∂^2f/∂x^2,∂^2f/∂x∂y],
[∂^2f/∂y∂x,∂^2f/∂y^2]]
となるのですね。

>> これもDは3×3行列(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)なのですね。
> その D も 3×1 (或いは 1×3) 行列値の微分作用素です.

これもそうでした。

>> D^2が3×3行列なのですね。
> 実数値関数 f について, D^2 f はそうです.
>   D^2 f
>   = [[ ∂^2f/∂x^2,  ∂^2f/∂x∂y, ∂^2f/∂x∂z ],
>      [ ∂^2f/∂y∂x, ∂^2f/∂y^2,  ∂^2f/∂y∂z ],
>      [ ∂^2f/∂z∂x, ∂^2f/∂z∂y, ∂^2f/∂z^2  ]]

有難うございます。これは
D^2 f=D(Df)
[[∂/∂x,∂/∂x,∂/∂x],
 [∂/∂y,∂/∂y,∂/∂y],
 [∂/∂z, ∂/∂z,∂/∂z]]
・
[[∂f/∂x,∂f/∂x,∂f/∂x],
 [∂f/∂y,∂f/∂y,∂f/∂y],
 [∂f/∂z, ∂f/∂z,∂f/∂z]]
から得られるのですね。

>> (∂^2 f/∂x^2)(a+ht, b+kt, c+jt) ・h^2
>> +(∂^2 f/∂y∂x)(a+ht, b+kt, c+jt) ・2kh
：
> これを (D^2 f)(P)((h,k,j),(h,k,j)) と
> 考えるわけです.

(D^2 f)(P)は3×3行列ですが((h,k,j),(h,k,j))は3×2行列ですが
(D^2 f)(P)((h,k,j),(h,k,j))は3×3行列と3×2行列の積ではなくて,
[ h, k, j ] (D^2 f)(P) [[h],
                           [k],
　                         [j]]
という1×3行列,3×3行列,3×1行列の積(1×1行列)を表しているのですね。

> 一般に, f が d 変数 x_1, x_2, ... , x_d の
> 実数値関数のとき, h = (h_1, h_2, ... , h_d) について,
>  P = (a_1, a_2, ... , a_d) での (D^k f)(P)(h, h, ... h) は
>   (D^k f)(P)(h, h, ... , h)
>   = Σ_{i_1, i_2, ... , i_k = 1}^d
>     (∂^k f/∂x_{i_1}∂x_{i_2}…∂x_{i_k})(P) h_{i_1} h_{i_2} … h_{i_k}
> で与えられます.

有難うございます。これがd変数のtの合成関数fのk階微分d^k/dt(f)=(D^k f)(P)(h,
h, ... h) の意味だったのですね。

x=(x_1,x_2,…,x_d),y=(y_1,y_2,…,y_d),Φ(x)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)=Φ(ψ_1(t),ψ_2
(t),…,ψ_d(t))とすると
d変数のtの合成関数Φの微分dΦ/dtは
d^k/dt^kf(x)=(D^kΦ)(ψ_1(t),ψ_2(t),…,ψ_d(t))
=Σ_{i_1,i_2,…,i_k=1}^d
[(∂^kΦ/∂x_{i_1}∂x_{i_2}…∂x_{i_k})(ψ_1(t),ψ_2(t),…,ψ_n(t))
(dΦ_{i_1}/dt)(t) (dΦ_{i_2}/dt)(t) … (dΦ_{i_k}/dt)(t)]
と書けるのですね。

> (D^k f)(P) は k 階の(共変)テンソルで,

このd×d行列は共変テンソルと呼ばれるのですね。

> それは R^d の k 個の直積上の多重線形写像だと考えられます.

この写像は(R^d)^kから何への写像になるのでしょうか?

> その (h, h, ... , h) での値が上で書いたものです.

この(h,h,…,h)はd×k行列ですね。

>> この場合は,
> D=h∂/∂x+k∂/∂y,
：
>> ：
>> D^n f=(h∂/∂x+k∂/∂y)^n=Σ_{i=0}.n (nC{n-i})(h∂/∂x)^{n-i}f
>> (k∂/∂y)^i f
> 少し違いますね.
>   = Σ_{i=0}^n { n \choose i } (∂^n f/∂x^{n-i}∂y^i) h^{n-i} k^i

有難うございます。∂fの部分は常にn階 ∂^n f でしたね。

>> すいません。この2×n行列が後置される形のテイラー展開は
>> どのようにヤコビ行列が書けるのか分かりません。
>  Taylor 展開の一般項は
：
> Σ_{i = 0}^m { m \choose i } (∂^m f/∂x^{m-i}∂y^i)(a, b) h^{m-i} k^i
> となります. 同じですね.

ありがとうございます。

>> すいません。再訂正です。
>> x:=(x_1,x_2,…,x_d)とすると
>> Φ(x+t(y-x))=Φ(x+0(y-x))+((∂Φ/∂t)(0))・t+1/2!(∂^2Φ/∂t^2)Φ(0)・t^2
>>              +1/3!+…で
>  Φ(y) = Φ(x + 1(y - x))
>        = Φ(x + 0(y - x)) + d(Φ(x + t(y - x)))/dt|_{t=0}・1
>          + (1/2) d^2(Φ(x + t(y - x)))/dt^2|_{t=0}・1^2
>          + (1/3!) d^3(Φ(x + t(y - x)))/dt^3|_{t=0}・1^3
>          + …
>          + (1/(n-1)!) d^{n-1}(Φ(x + t(y - x)))/dt^{n-1}|_{t=0}・1^{n-1}
>          + (1/n!) d^n(Φ(x + t(y - x))/dt^n|_{t=θ}・1^n

すいません。縦線「|」の箇所「|_{t=θ}・1^n」はどういう意味でしょうか?

>> ∂Φ/∂t=Σ_{i=1}^d ∂Φ/∂x_i・∂ψ_i(t)/∂t=Σ_{i=1}^d ∂Φ/∂x_i・h_i
>   d(Φ(x + t(y - x)))/dt
>   = Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x)) (dψ_i/dt)(t)
>   = Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x)) (y_i - x_i)
>  h_i = y_i - x_i とおきましょうか.

Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x))h_iでいいのでしょうか?

>> ∂^2Φ/∂t^2=∂/∂t(∂Φ/dt)=(∂/∂t)Σ_{i=1}^d ∂Φ/∂x_i・h_i
>> =Σ_{i=1}^d[(∂/∂x_i)(Σ_{j=1}^d ∂Φ/∂x_j・h_j)・h_i]
>> (∵∂Φ/∂t=Σ_{i=1}^d ∂Φ/∂x_i・h_i)
>> =Σ_{i=1}^d (∂x_i/∂t∂/∂x_i)^2Φ
> 出鱈目ですね.

すいません。

> 先ず. Φ(x + t(y - x)) を 1 変数 t の
> 関数と考えているので, ∂ ではなく d を使って,
>   d^2(Φ(x + t(y - x)))/dt^2

ここはd^2/dt^2(Φ(x + t(y - x)))と書かれていないのはΦ(x + t(y - x))がまだ微分されていないからなのですよ
ね。

>   = (d/dt)(Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x)) h_i)

ここは合成関数の微分の公式
「y=f(x_1(t),x_2(t),…,x_n(t))の時,dy/dt=Σ_{i=1}^n ∂y/∂x_idx_i(t)/dtですね。」


>   = Σ_{i=1}^d d((∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x)))/dt h_i
>   = Σ_{i=1}^d Σ_{j=1}^d (∂(∂Φ/∂x_i)/∂x_j)(x + t(y - x)) dψ_j(t)/dt
> h_i
>   = Σ_{i,j=1}^d (∂^2Φ/∂x_j∂x_i)(x + t(y - x)) h_i h_j
>   = Σ_{i,j=1}^d (∂^2Φ/∂x_i∂x_j)(x + t(y - x)) h_i h_j

有難うございます。参考になります。これがΦのtについての2階微分なのですね。

>> よって
>> ∂^kΦ/∂t^k=Σ_{i=1}^d (∂x_i/∂t∂/∂x_i)^k Φ
>   d^k(Φ(x + t(y - x))/dt^k
>   = Σ_{i_1, i_2, ... , i_k = 1}^d
>     (∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x + t(y - x)) h_{i_1} h_{i_2} … h_{i_k}

これも有難うございます。

>> つまり,(D^kΦ)=Σ_{i=1}^d (∂x_i/∂t∂/∂x_i)^k Φとなるのですかね。
>  Taylor 展開の k 次の項は, t = 0 として,
>   (1/k!) (D^k Φ)(x)(h, h, ... , h)
>   = (1/k!) Σ_{i_1, i_2, ... , i_k = 1}^d
>            (∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x) h_{i_1} h_{i_2} … h_{i_k}
> です.

これも有難うございます。

> 注意すべきは, k 次の項は, h の成分,
>  h_1 = y_1 - x_1, h_2 = y_2 - x_2, ... , h_d = y_d - x_d
> の k 次式になっていて,

そうですね。そのようになってますね。

> O(|y - x|^k) の項である,
> つまり, 定数 M が存在して, その絶対値が M |y - x|^k で
> 押さえられるようなものである, ということです.

h_1h_2…h_d=(y_1 - x_1)(y_2-x_2)…(y_d - x_d)
|y - x|^k=(√((y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+…+(y_n-x_n)^2))^k
ですから,M::=max{|y_1 - x_1|,|y_2-x_2|,…,|y_d - x_d|}^kと採ればいいですね。

> 特に, Φ が C^n 級であれば, |y - x| → 0 のとき,
>  (∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x + θ(y - x)) →
> (∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x)
> ですから,

そうですね。

>   lim_{|h| = |y - x| → 0}
>   |Φ(y) - Φ(x) - Σ_{k=1}^n (1/n!)(D^k Φ)(x)(h, h, ... , h)|/|h|^n
>   = 0
> となります.

|Φ(y) - Φ(x) - Σ_{k=1}^n (1/n!)(D^k Φ)(x)(h, h, ... , h)|/|h|^n
=|(∫_[0,1](D^nΦ)(y+t(x-y))dt-(D^nΦ)(y))(x-y)|/|x-y|
=|∫_[0,1](D^nΦ)(y+t(x-y))dt-(D^nΦ)(y)|
と変形できますね。これからどうすれば
lim_{|h| = |y - x| → 0}|∫_[0,1](D^nΦ)(y+t(x-y))dt-(D^nΦ)(y)|=0が言えますでしょう
か?

> このことを
>   Φ(y) = Φ(x) + Σ_{k=1}^n (1/n!)(D^k Φ)(x)(h, h, ... , h) + o(|h|^n)
> と書いたのです.

そうですね。Landauの記号の定義からそのように書けますね。

> 今 n = 1 でしたから, 必要なのは,
>   Φ(y) = Φ(x) + (D Φ)(h) + o(|h|)
> だけでしたが, text で |y - x| < ε として o(ε) が
> 出て来たのは o(|h|) の代わりでした.
>  C^n 級なら o(|h|^n) になるというのも, お分かりでは
> なかったようですね. 以下一々訂正しません. それぞれ
> どうなるのが正しいかはお考え下さい.

つまり,Φ(y) = Φ(x) + (D Φ)(h) + o(|h|)より
lim_{|h|→0}|Φ(y)-Φ(x) -(D Φ)(h)| /|h|=0 と言え,
0≦|Φ(y)-Φ(x) -(D Φ)(h)| /|ε|≦|Φ(y)-Φ(x) -(D Φ)(h)| /|h|でもあるから
(∵|y-x|=|h|<|ε|)
挟み撃ちの定理より
lim_{|h|→0}||Φ(y)-Φ(x) -(D Φ)(h)| /|ε|=0。
よってΦ(y)=Φ(x)+(DΦ)(h)+o(ε)と書けるのですね。