ご回答大変有難うございます。

>> そうでした。Φは微分可能なら連続で全単射だからOとO'は位相同型になりますね。
> 確かに, O と O' は位相同型になりますが,
> 結局, それは compact の像が compact だと
> いうことだけで証明されますからね.

これは全単射f:X→YでX⊃Aがcompactでf(A)がcompactならfは位相同型写像と言えるのでしょうか?
それはどのようにして証明できますでしょうか?(Y⊃∀Bが開集合ならf^-1(B)も開集合を言わねばならないのですよね)
EがF_σ集合ならΦ(E)もF_σ集合になり(∵今,Φは位相的性質を保存するので),Φ(E)=∪_{i=1}^∞F'_i

 (但し,F'_iは閉集合)と書け,
F'_iはLebesgue可測集合だから) ∪_{i=1}^∞F'_iもLegesgue可測集合,即ち,Φ(E)もLegesgue可測となるの
ですね。

EがF_σ集合でない場合はどうなるのでしょうか?

>> よって,あらゆる位相的性質は保存されるから EがLebesgue可測ならΦ(E)もLebesgue可測となるのですね。
> Borel 集合であるという性質は位相的性質ですが,

そうですね。Borel集合は開集合とその補集合の可算回の可算個の和集合と共通部分ですからね。
EがLebesgue可測集合なら∃A,Z⊂R^n; E=A∪Z, A,B∈B(R^n),Z⊂B,m(B)=0とEは表せて(∵Lebesgue可
測集合の定義),
AはBorel集合だが,ZはBorel集合かどうかは分からないので,位相的性質保存は使えないのですね。
ZもBorel集合なら,E(=A∪Z)もBorel集合で位相的性質が保存される事からΦ(E)もBorel集合と言えるのでしょうが。
(a)はcompactという性質を使ってどのように証明できるのでしょうか?

一口に位相的性質と言いますがところで位相的性質の定義とは何なのでしょうか?

> Lebesgue 可測という性質は, 零集合であるという性質が
> 連続写像では保存されないので, 位相的性質であるとは
> 言えません.

「m(E) = 0 のとき, E = ∪_{n=1}^∞ E_n と,
：
 m(Φ(E_n)) = 0 が言えて, m(Φ(E)) = 0 となります.」
から結局は零集合がΦで保存されたのではないでしょうか?
(この証明はlocally Lipschitzが使われはしましたが)

>> つまり,「Φが有界閉領域AでLipschitz条件を満たす⇔AとΦ(A)は位相同型」 が成り立つのですね。
> 違います. m(A) = 0 のとき m(Φ(A)) = 0 が言えるのです.

「位相同型写像Φが有界閉領域AでLipschitz条件を満たす⇔Aが零集合ならΦ(A)も零集合」なのですね。

>> ∀x,y∈E_nでE_nは有界閉領域だからmax{|Φ(x) - Φ(y)|;x,y∈E_n}
>> が存在するから どのようなMが採れますでしょうか?
>  Φ(x) - Φ(y)
>  = ∫_0^1 d(Φ(x + t(y - x))/dt dt

すいません。どうしてこのように変形できるのでしょうか?

>  = ∫_0^1 DΦ(x + t(y - x))・(y - x) dt

これはd(Φ(x + t(y - x))/dt=DΦ(x + t(y - x))・(y - x)と変形できるいう事ですね。

d(Φ(x + t(y - x))/dt=Φ'(x + t(y - x))・(y-x)でDは
DΦ(x + t(y - x))=Φ'(x + t(y - x))'という意味なのですね。

> ですが, M = max_{x,y ∈ E, t ∈ [0, 1]} |DΦ(x + t(y - x))|

これは今,Eは有界閉領域なので最大値が採れるのですね。

> とすれば,
>  |Φ(x) - Φ(y)|
>  = |∫_0^1 DΦ(x + t(y - x))・(y - x) dt|
>  ≦ ∫_0^1 |DΦ(x + t(y - x))||y - x| dt

なるほど。

>  ≦ M |x - y|
> となります.

∫_0^1 |DΦ(x + t(y - x))||y - x| dt≦∫_0^1 M|y - x| dt
=M|y-x|∫_0^1dt= M |x - y|となるのですね。

>> 今,OとO'は位相同型である事から Eが零集合の時には
>> Φ(E)も零集合とは言えないんでしょうか?
> 言えません.

了解いたしました。

>> やはり,Lipschitz条件が必要なのでしょうか?
> 必要です.

了解いたしました。

>> 零集合は位相的性質ではない!?
> その通り, 零集合であるというのは位相的性質ではありません.
> 例えば,  (0, 1) から (0, 1) への位相同型で,
> Cantor 集合を測度が正の集合に写すようなものが存在します.

f:(0,1)→(0,1)でfは測度の定義を満たし,f(C)>0 (但し,CはCantor集合)なる位相同型写像fが存在するのですね。

>> ところでここはどうしてEが零集合である事を議論なさっているのでしょうか?
>> (b)ではEが有界閉領域の場合と非有界の場合とだけ 議論すれば十分だと思うのですが…。
> 任意の可測集合は, F_σ 集合と零集合の和集合として書ける
> ことを用いるのです.

ええ〜!? Lebesuge可測集合EはE=A∪Z
(但し,A∈B(R^n),Z⊂B∈B(R^n) (B(R^n)はBorel集合体)でm(B)=0)
という形に書ける(∵Legesgue集合体は完備化された集合体)のは知っていますが,
Borel集合Aはそう簡単に具体的に表せないのですよね(∵Borel集合の複雑性)。
Borel集合Aが単にF_σ集合として表せれるのはどうしてでしょうか?

> 零集合の像が零集合であることを
> Exercise 8 の (b) と同様に示して, 証明が完結します.
> Exercise 8 の線形写像の場合には R^d で Lipschitz ですが,
> Φ は locally Lipschitz しか言えませんから,
> 有界の場合と非有界の場合に分けました.

なるほど。上記でΦ(B_1),Φ(B_2),…がLegesgue可測という事が分かったので,
∪_{n=1}^∞ Φ(B_n)もLegesuge可測(∵σ集合体の定義)で
∪_{n=1}^∞ Φ(B_n)=Φ(∪_{n=1}^∞ B_n)(∵Φは全単射) =Φ(B)と変形できるので,
結局,Φ(B)もLegesgue可測。よってΦ(Z)もLegesgue可測(∵Legesgue空間は完備化された空間)。
従って,AはF_σ集合でLegesgue可測である事からΦ(A)もLegesgue可測で
Φ(E)=Φ(A∪Z)=Φ(A)∪Φ(Z)(∵Φは全単射) はLegesgue可測(∵σ集合体の定義)。
よって,EがLegesgue可測ならΦ(E)もLegesgue可測。

>> locally Lipschitzである事は各有界閉領域E_nが∀x,y∈E_nでmax{|Φ(x) -
>> Φ(y)|;x,y∈E_n}が存在する。
> それからは何も出ません.
>> それからどのようなMが採ればいいのでしょうか?
> 上のように御議論下さい.

上記のようでいいんですよね。

>> 今,0<∃ε∈R;
> ある ε について, ではありません.
>> lim_{ε→0} |Φ(x)-Φ(z_k)-Φ'(z_k)(x-z_k)|/|ε|=0という事ですね。
> |x - z_k| < ε であることに注意します.

はい。

>> 一階微分したTaylor展開はΦ(z_k-x)=Φ(z_k)+DΦ(z_k)+o(ε)
>> (但し,D:=∂/∂x_1+∂/∂x_2+…+∂/∂x_dでo(ε)=1/1!DΦ(z_k-εx)(0<ε<1))
>> ですよね。
> 何度も言うように違います. 又, 複雑に間違いましたね.

すいません。

>  Φ(x) - Φ(z_k)
>  = ∫_0^1 DΦ(z_k + t(x - z_k))・(x - z_k) dt

これはΦ(x)-Φ(z_k)=∫_0^1 d/dtΦ(z_k+t(x-z_k))dt
=∫_0^1 Φ'(z_k+t(x-z_k))・(x-z_k) dt=∫_0^1(DΦ(z_k+t(x-z_k)))・(x-z_k)dt
ですね。

>  = ∫_0^1 DΦ(z_k)・(x - z_k) dt
>    + ∫_0^1 (DΦ(z_k + t(x - z_k)) - DΦ(z_k))・(x - z_k) dt

納得です。

>  = DΦ(z_k)・(x - z_k)
>    + (∫_0^1 DΦ(z_k + t(x - z_k)) - DΦ(z_k) dt)・(x - z_k)
> ですから,

∫_0^1 DΦ(z_k)・(x-z_k) dt+∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))・(x-z_k) dt
=[DΦ(z_ki)(x-z_k)t]_0^1 dt+(∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))dt)(x-z_k)
=DΦ(z_k)・(x - z_k)+(∫_0^1 DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k) dt)・(x-z_k)
となるのかと思いますが
∫_0^1 DΦ(z_k)・(x-z_k) dt+∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))・(x-z_k) dtから
[DΦ(z_ki)(x-z_k)t]_0^1 dt+(∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))dt)(x-z_k)
がどうして言えるのでしょうか?
∫_0^1 DΦ(z_k)・(x-z_k) dt+∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))・(x-z_k) dt
=∫_0^1 DΦ(z_k)・(x-z_k)+(∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))dt)(x-z_k)
=(x-z_k)∫_0^1 DΦ(z_k)+(∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))dt)(x-z_k)
=(x-z_k)Φ(z_k)+(∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))dt)(x-z_k) (∵DΦ(z_k)はtに
関しての微分なので)
となってしまうのではないかと思います。何か勘違いしてますでしょうか?

>  |Φ(x) - Φ(z_k) - DΦ(z_k)・(x - z_k)|/|ε|
>  ≦ |Φ(x) - Φ(z_k) - DΦ(z_k)・(x - z_k)|/|x - z_k|
>  ≦ |∫_0^1 DΦ(z_k + t(x - z_k)) - DΦ(z_k) dt|

そうですね。上からそのようになりますね。

> であり DΦ の連続性から

ΦはC^1級だから C^1の定義「関数fがC^1⇔fは1階微分可能でf'は連続」よりDΦも連続と言えるのですね。

>, ε→0, つまり x→z_k のとき,
> DΦ(z_k + t (x - z_k)) → DΦ(z_k) なので,

そうですね。

>  lim_{ε→0} |Φ(x) - Φ(z_k) - DΦ(z_k)・(x - z_k)|/|ε| = 0,

|∫_0^1 DΦ(z_k + t(x - z_k)) - DΦ(z_k) dt|→0だから挟み撃ちの定理で
lim_{ε→0} |Φ(x) - Φ(z_k) - DΦ(z_k)・(x - z_k)|/|ε| = 0ですね。

> 或いは,
>  Φ(x) - Φ(z_k) = DΦ(z_k)・(x - z_k) + o(ε)

これはo(ε)の定義から分かります。

> です. Taylor の定理としては,
>  Φ(x) - Φ(z_k) = DΦ(z_k)・(x - z_k) + o(|x - z_k|)
> と書いてあるのが普通でしょう.

有難うございます。参考になります。Landauの記号のはちょっと見当たりませんでした。

ここでのx,z_kはベクトルなのでこれは多変数でのTaylorの定理を表しているのですね。

>> これからどうして lim_{ε→0} |Φ(x)-Φ(z_k)-Φ'(z_k)(x-z_k)|/|ε|=0が言えるのでしょうか?
> 上から明らかですね.

そうですね。これはΦ(x) - Φ(z_k) = DΦ(z_k)・(x - z_k) + o(ε)の定義そのものですね。

>> はい。
> 変だと思わないのは重症です.
>> どのように解釈すればΦ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(ε)が出てくるのでしょうか?
> 明らかですね.

納得です。

>> f(a+h,b+k)=f(a,b)+Df(a,b)+1/2!D^2f(a,b)+…+1/(n-1)!D^{n-1}f(a,b)+R_n
：
> 間違いです.

えっ。何処が間違ってますか?

>> で今,変数はd個あるので,
>> Φ(x_1+h_1,x_2+h_2,…,x_d+h_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)+1/2!
：
>> (0<θ<1)) ですよね。
> 間違いです.

これも何処が間違ってますでしょうか?

> まあ, Taylor の定理が正しく書けないのは珍しくありませんが.

 そうなんですか。。。

>> 何処が間違ってますでしょうか?
> Φ(x) = Φ(z_k) + の先は, (x - z_k) について
> 一次の項, 二次の項, … とだんだん近似が上がって行く
> ようになっていないとおかしいわけですが, 貴方の式の
> 右辺には (x - z_k) が現れていません.

すいません。どのように書けばいいのでしょうか?

>> Φ^-1もC^1級で連続なのですね。
> 多くの教科書ではその仮定の下に証明が与えてありますが,
> 実は要りません.

これはどういう意味でしょうか?

>> Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(ε)からどうやって m(Φ(Q_k)) =
>> |det(Φ'(z_k))| m(Q_k) + ε_kが得られるのでしょうか?
> ですから, 簡単ではありません.

そうだったのですか。

>> Σ_{k=1}^∞ m(Φ(Q_k)) = Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| m(Q_k) + o(1) となる
>> (∵Landauの記号の定義)。 でいいでしょうか?
> そう出来れば良いのですが, 難しいでしょう.

そうですか。困りましたね。

>> するとどうやって。。
> この text の著者は簡単に示せると思ったのでしょうが,
> Hint 通りには出来ないでしょう. 他の教科書で証明を
> 探して御覧になるのが良いと思います. まあ, ちゃんと
> 証明してある教科書は余りありませんが.

了解いたしました。

>> そうでした。{h→0}|f(x+h)-f(x)-g(x)|/h=0なる
> ここでも h が一つ抜けていますね.
>  lim_{|h|→0} |f(x+h) - f(x) - g(x)h|/|h| = 0
> です.

有難うございます。再度確認してみましたがg(x)hでなくg(x)となっていますが。。
(但しh∈R^m)

>> Φ'(z_k)は[Φ'](z_k)の事でしょうからd×1行列ですよね?
> 違います. z_k は微分をとる点を表しています.
> Φ'(z_k), 或いは, DΦ(z_k) は, 行列表示すれば,
> [(∂Φ_i/∂x_j)(z_k)] という d×d 行列です.

そうでした。[Φ'](z_k)の意味ではなかったです。どうもありがとうございます。

> なるほど, そういう理解では Taylor の定理は
> 書けませんね.

すいません。

>> これは積分値が∞の場合も考慮されいるのでしょうか?
> E が有界領域である場合を考えていますから,
> 連続関数の積分は有限値です.

なるほど。これもありがとうございます。

>> えーと,Riemann和という事はQ_1,Q_2,…がEの分割になっていて, ξ_i∈Q_iに対して,
> z_i を Q_i から取っているのです.

そうでしたか。

>> Σ_{i=1}^∞(Q_iの面積)・ξ_iで
>  Σ_{i=1}^∞ ( Q_i の面積)・|det(Φ'(z_k))| です.

そうでした。今,被積分関数は|det(Φ'(z_k))|でしたね。

>> これがΣ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)=Σ_{i=1}^∞(Q_iの面積)・ξ_i となっているという事でしょうか?
> それは随分と混乱していますね.
> ∫_E |det(Φ'(x))| dx に対応する Riemann 和ですよ.

なるほど。

>> ん? Riemann和は有限個の和でしたよね?
> 元々はそうですね. 有限で切ったものの極限になると
> 思えば良いでしょう.

∫_E |det(Φ'(x))| dx=lim_{ε→0}Σ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)となっているのですね。

>>> Σ_k |det(Φ'(z_k))| m(Q_k) → ∫_E |det(Φ'(x))| dx となります.
>> すいません。何故このように言えるのでしょうか?
> だって, Riemann 和の極限は存在して Riemann 積分に
> なるのですから. 気持ちが悪ければ, Lebesgue 積分論で
> 示せば良い. 各 ε ごとに, diam Q_k < ε となる分割と
> Q_k の中心 z_k を用いて,
>  f_ε(x) =Σ_{i=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)
> とし, f_ε(x) → |det(Φ'(x))| となることを示せば,

なるほど。ε→0ならx→z_kなのでこれから,どのようにして
lim_{ε→0}f_ε(x)=lim_{ε→0}Σ_{i=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)から
|det(Φ'(x))|になるのでしょうか?

> 有界収束定理が使えます.

まず,BCTを使うには,R^dのLegesgue測度mが有限m(R^d)<∞でなければなりませんよね。
これは言えるのでしょうか?

とりあえず,Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)→|det(Φ'(x))|が収束する事が言えれば
Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)→|det(Φ'(x))|はa.e.収束する…①とも言える。
そして,0<∀ε∈Rに対して,|Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)|<∃K∈R…②.で
Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)∈L^1…③なら
Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)→|det(Φ'(x))|はL^1収束する(∵①,②,③よりBCT)。
即ち, lim_{ε→0}(∫_E Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)-|det(Φ'(x))|dm)
=0.
⇒ lim_{ε→0}(∫_E Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)dm-∫_E|det(Φ'(x))|
dm)
⇒ lim_{ε→0}∫_E Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)dm-lim_{ε→0}∫_E|det
(Φ'(x))|dm=0
⇒ lim_{ε→0}∫_E Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)dm=lim_{ε→0}∫_E|det
(Φ'(x))|dm
⇒ lim_{ε→0}∫_E Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)dm=∫_E|det(Φ'(x))|dm
⇒ lim_{ε→0}Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|∫_E χ_{Q_k}(x)dm=∫_E|det(Φ'(x))|dm
⇒ lim_{ε→0}Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| m(E∩Q_k)=∫_E|det(Φ'(x))|dm (∵特性関数の積
分)
⇒ lim_{ε→0}Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| m(Q_k)=∫_E|det(Φ'(x))|dm
⇒ lim_{ε→0}(Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| m(Q_k)+ε)=∫_E|det(Φ'(x))|dm…④
となりますね。
ところで、③,②はどうすれば言えますでしょうか?

今,Σ_{k=1}^∞m(Φ(Q_k)=Σ_{k=1}^∞|det(Φ'(z_k)|m(Q_k)+o(ε)=lim_{ε→0}(Σ_{k=1}
^∞|det(Φ'(z_k)|m(Q_k)+ε)であったので
④からΣ_{k=1}^∞m(Φ(Q_k)=∫_E|det(Φ'(x))|dmと言え、
∫_E|det(Φ'(x))|dm=Σ_{k=1}^∞m(Φ(Q_k)
=m(∪_{k=1}^∞Φ(Q_k)) (∵各内核は互いに素で,各共通部分(境界)の測度は0より可算加法性)
=m(Φ(∪_{k=1}^∞Q_k) (∵Φは全単射)
=m(Φ(E))

となったのですがこれでもいいでしょうか?

>> m(Φ(F))=m(Φ(E∪F＼E))=m(Φ(E)∪Φ(F＼E))と変形できるのは何故なのでしょうか?
> E ⊂ F で, Φ は bijection だから. 何処に問題が
> ありますか.

そうでした。Φはbijectionでしたね。

>> 閉集合の可算共通部分も閉集合でしたね。
> 今, F_n は 開集合です. F = ∩_{n=1}^∞ F_n は
> G_δ 集合ですね.

そうでした。そのように仰ってましたね。
Eが有界ならLegesgue外測度はm_*(E)<∞で
E⊂∃F∈G_δ;m_*(E)=m_*(F)で(∵某命題),FもLegesgue可測ですからF＼EもLegesgue可測で
m(F＼E)=0と言えますね。

ところで,前記事で
「 E を有界な可測集合としましょう. E ⊂ F で m(F＼E) = 0 であれば,
：
 m(Φ(E)) = m(Φ(F)) = ∫_E |det Φ'(x)| dx です.」
を議論なさってますが何故なのでしょうか?

上記のE=∪_{k=1}^∞ Q_k (但し,Q_kの内核は互いに素な立方体)でm(Φ(E))=∫_E|det(Φ'(x))|dmが示せたので
十分かと思いましたが。

>> m(Φ(F_n))から∫_{F_n} |det Φ'(x)| dxとなるのは何故でしょうか?
> (b) の結果でしょ.

F_nはLegesgue可測集合でしたね。

>> lim_{n→∞} ∫_{F_n} |det Φ'(x)| dx=∫_{lim_{n→∞}F_n} |det Φ'(x)| dx
>> はどうして言えますでしょうか?
> ああ, そこでは F_n は減少列であるとしています.

つまり,「m(F_1)<∞でF_nが単調減少列ならlim_{n→∞}∫_{F_n}f(x)dm=∫_{lim_{n→∞}F_n}f(x)
dm」
という命題があるのですね。

>> 非有界閉集合Eを互いに素な有界閉集合の和∪_{i=1}^∞E_iとして表される事を
> E は可測集合と言うだけです.

上記のようにEが非有界の場合もE=∪_{k=1}^∞ E_k (但し,E_kは互いに素な有界開集合)とすると
m(Φ(E_k))=∫_E_k|det(Φ'(x))|dmが成り立つので(∵Eが有界の場合で証明済み)
m(Φ(E))=m(Φ(∪_{k=1}^∞ E_k)=m(∪_{k=1}^∞Φ(E_k))=Σ_{k=1}^∞m(E_k)(∵可算加法性)
=Σ_{k=1}^∞∫_E_k|det(Φ'(x))|dm=∫_{∪_{k=1}^∞E_k}|det(Φ'(x))|dm
=∫_E_k|det(Φ'(x))|dm
と書けてお仕舞いなのですね。
でも都合よくE=∪_{k=1}^∞ E_kなるE_kは互いに素な有界開集合が採れるか分かりませんよね。
Eが非有界の場合はどのようにEをどのように分割すればいいでしょうか?