工繊大の塚本と申します.

In article <be2f5d91-1542-4681-b396-54add0640209@i28g2000prd.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> プリント配布からの問題です。
> 
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/reference_first.jpg
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/reference_second.jpg
> 
> 1. Suppose Φ is a C^1 bijection of an open set O in R^d onto another
> open set  O' in R^d.
> (a) If E is a measurrable subset of O, then Φ(E) is also measurable.
> (b) m(Φ(E))=∫_E |detΦ'(x)|dx,where Φ' is the Jacobian of Φ.
> (c) ∫_O' f(y)dy=∫_O f(Φ(x))|detΦ'(x)|dx whenever f is integrable on
> O'.
> [Hint: To prove (a) follow the argument in Exercise8 ,Chapter 1. For
> (b) assume E is a bounded open set, and write E as ∪_{j=1}^∞ Q_j,where
> O_j are cubes whose interiors are disjoint, and whose diameters are
> less than ε. Let z_k be the center of Q_k. Then if x∈Q_k,
> Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(E),
> hence Φ(Q_k)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε),
> and as a result
> (1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂Φ(Q_k)-Φ(z_k)⊂(1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k),
> where η(ε)→0 as ε→0. This means that
> m(Φ(O))=Σ_k m(Φ(Q_k))=Σ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1) as ε→0
> on account of the linear transformation property of the Lebeesgue
> measure given in Problem 4 of Chapter 2.
> Note that (b) is (c) for f(Φ(x))=χ_E(x).]
> 
> という問題です。一応,Exercise8とProblem4も上記の通り載せました。
> 
> ΦはC^1級の全単射でΦ:O→O' (但し,O,O'はR^dの開集合)とする。
> (a)についてはExercise8を使うには,Φが線形変換である事を言えばいいのですよね。
> C^1級全単射からどうやってΦが線形である事が言えるのでしょうか?

 Φ が線形である筈がないでしょう. Hint は
「 Exercise 8 での論法を踏襲せよ」と言っているので,
 Exercise 8 に帰着して片が付くというわけではありません.
お考え直し下さい.

> (b)については
> 『Eが有界開集合ならばE=∪_{j=1}^∞ Q_j 
> (但し,diamQ_j<εなQ_jは立方体で内核は互いに素,)と書ける。
> この時,z_kをQ_kの中心とするとx∈Q_kなら
> Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(E)』
> 
> このo(E)の定義が見当たりませんで。。

 o(ε) でしょう. o は Landau の記号です.

> どうしてΦ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(E)と書けるのでしょうか?

(多変数での) Taylor の公式ですね. |x - z_k| < ε に注意します.

> 『従って,Φ(Q_k)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε)で結果として
> (1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂Φ(Q_k)-Φ(z_k)⊂(1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k),
> 但し,ε→0の時, η(ε)→0.』
> Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(E)から
> Φ(Q_k)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε)とどう
> してなるのでしょうか?

これは, 集合の像が, どういう集合に含まれているか, を
象徴的に書いたものです. Q_k の点の像は, z_k の像に
 z_k を始点とし, Q_k の点を終点とするベクトルの
 Φ'(z_k) での像を加えたものと, ε より小さな誤差で
一致する, というわけです. 誤差をきちんと書けば,

  (1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂Φ(Q_k)-Φ(z_k)⊂(1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k),

となるという主張です.

> 『これはProblem4でのLebesgue測度の線形変換性から
> ε→0の時,
> m(Φ(O))=Σ_k m(Φ(Q_k))=Σ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1)を意味する』
> m(Φ(O))=Σ_k m(Φ(Q_k)は有限和でなく可算和ですよね。
> 可算和に関して線形性が使えるのでしょうか?

それぞれの Q_k について議論して, 可算個足し合わせます.

> Σ_k m(Φ(Q_k))=Σ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1)はProbem4を使うなら
> Σ_k m(Φ(Q_k))=Σ_k |det(Φ)|m(Q_k)となるのではないでしょうか?

 Φ は線形写像ではありません.

  m((1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k))
  ≦m(Φ(Q_k)-Φ(z_k))
  ≦m((1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k))

から,

  (1 - η(ε))^d |det(Φ'(z_k))| m(Q_k)
  ≦ m(Φ(Q_k))
  ≦ (1 + η(ε))^d |det(Φ'(z_k))| m(Q_k)

が成立するところで Φ'(z_k) の線形性を使います.

> そしてΣ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1)から
> m(Φ(E))=∫_E |detΦ'(x)|dxがどうして言えるのでしょうか?

 |detΦ'(x)| は連続関数ですから, Riemann 積分と
考えてそうなりますね.

> あと,Eが有界開集合でない場合はどうすればいいのでしょうか?

有界集合の時に, 開集合で近似して証明し,
有界集合でないときは, 有界集合の可算和に分けて
議論すれば良いでしょう.

> (c)については(b)を利用するみたいですが
> どのように利用して∫_O' f(y)dy=∫_O f(Φ(x))|detΦ'(x)|dxが得られる
> のでしょうか?

 f が単関数の時どうなるか, から始めては如何でしょうか.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp