ΦがC^級,全単射なO→O'な写像の時,EがLebesgue可測ならΦ(E)もLebesgue可測である
いつも大変お世話になっております。
プリント配布からの問題です。
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1. Suppose Φ is a C^1 bijection of an open set O in R^d onto another
open set O' in R^d.
(a) If E is a measurrable subset of O, then Φ(E) is also measurable.
(b) m(Φ(E))=∫_E |detΦ'(x)|dx,where Φ' is the Jacobian of Φ.
(c) ∫_O' f(y)dy=∫_O f(Φ(x))|detΦ'(x)|dx whenever f is integrable on
O'.
[Hint: To prove (a) follow the argument in Exercise8 ,Chapter 1. For
(b) assume E is a bounded open set, and write E as ∪_{j=1}^∞ Q_j,where
O_j are cubes whose interiors are disjoint, and whose diameters are
less than ε. Let z_k be the center of Q_k. Then if x∈Q_k,
Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(E),
hence Φ(Q_k)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε),and as a result (1-η(ε))
Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂Φ(Q_k)-Φ(z_k)⊂(1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k), where η(ε)→0
as ε→0. This means that
m(Φ(O))=Σ_k m(Φ(Q_k))=Σ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1) as ε→0
on account of the linear transformation property of the Lebeesgue
measure given in Problem 4 of Chapter 2. Note that (b) is (c) for f(Φ
(x))=χ_E(x).]
という問題です。一応,Exercise8とProblem4も上記の通り載せました。
ΦはC^1級の全単射でΦ:O→O' (但し,O,O'はR^dの開集合)とする。
(a)についてはExercise8を使うには,Φが線形変換である事を言えばいいのですよね。
C^1級全単射からどうやってΦが線形である事が言えるのでしょうか?
(b)については
『Eが有界開集合ならばE=∪_{j=1}^∞ Q_j (但し,diamQ_j<εなQ_jは立方体で内核は互いに素,)と書ける。この時,z_kを
Q_kの中心とするとx∈Q_kなら
Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(E)』
このo(E)の定義が見当たりませんで。。どうしてΦ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(E)と書けるのでしょうか?
『従って,Φ(Q_k)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε)で結果として
(1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂Φ(Q_k)-Φ(z_k)⊂(1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k), 但し,ε→0
の時, η(ε)→0.』
Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(E)からΦ(Q_k)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε)とどう
してなるのでしょうか?
『これはProblem4でのLebesgue測度の線形変換性からε→0の時,m(Φ(O))=Σ_k m(Φ(Q_k))=Σ_k |det
(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1)を意味する』
m(Φ(O))=Σ_k m(Φ(Q_k)は有限和でなく可算和ですよね。可算和に関して線形性が使えるのでしょうか?
Σ_k m(Φ(Q_k))=Σ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1)はProbem4を使うなら
Σ_k m(Φ(Q_k))=Σ_k |det(Φ)|m(Q_k)となるのではないでしょうか?
そしてΣ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1)からm(Φ(E))=∫_E |detΦ'(x)|dxがどうして言えるのでしょう
か?
あと,Eが有界開集合でない場合はどうすればいいのでしょうか?
(c)については(b)を利用するみたいですがどのように利用して∫_O' f(y)dy=∫_O f(Φ(x))|detΦ'(x)|dxが得られる
のでしょうか?
吉田京子
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