工繊大の塚本です.

 Google からの投稿が base64 で encode されているようです.
多くの site では binary 記事と判断されて, 配送が行われません.
実際, 私がいつも読んでいる site には配送されておりません.
 Google から元テキストを再生して followup しておきます.

In article <b4b61a81-fe71-4500-bb7b-0203ab23554b@a5g2000pre.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 「∂Φ_i(x+t(y-x)/∂x_jはtを変数とするx+t(y-x)の導関数」
> でしたね。

そうではなくて, (∂Φ_i/∂x_j)(x+t(y-x)) は
 x + t(y - x) での Φ_i の x_j による偏微分の値であり,
 Φ_i の x_j による偏導関数の x + t(y - x) での値です.

> その時,η:E→R;η(x):=|Φ'(x + t(y - x))|の定義域がEより大きくなるのですね。

いや x + t(y - x)  (x, y ∈ E, 0 ≦ t ≦ 1) では Φ' が
定義されていないようなことも有り得ますから, E として
何でも取れば良いというものではないということです.

> Dは2×2行列(∂/∂x ,∂/∂y)なのですね。

その D は 2×1 (或いは 1×2) 行列値の微分作用素です.
 
> これもDは3×3行列(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)なのですね。

その D も 3×1 (或いは 1×3) 行列値の微分作用素です.

> D^2が3×3行列なのですね。

実数値関数 f について, D^2 f はそうです.
  D^2 f
  = [[ ∂^2f/∂x^2,  ∂^2f/∂x∂y, ∂^2f/∂x∂z ],
     [ ∂^2f/∂y∂x, ∂^2f/∂y^2,  ∂^2f/∂y∂z ],
     [ ∂^2f/∂z∂x, ∂^2f/∂z∂y, ∂^2f/∂z^2  ]]

> (∂^2 f/∂x^2)(a+ht, b+kt, c+jt) ・h^2
> +(∂^2 f/∂y∂x)(a+ht, b+kt, c+jt) ・2kh
> + (∂^2 f/∂z∂x)(a+ht, b+kt, c+jt) ・2hj
> + (∂^2 f/∂y^2)(a+ht, b+kt, c+jt) ・k^2
> + (∂^2 f/∂y∂z)(a+ht, b+kt, c+jt)・2kj
> + (∂^2 f/∂z^2)(a+ht, b+kt, c+jt) ・j^2
> 
> からどのようにして,((h,k,j),(h,k,j))の部分が出てきますでしょうか?

 D^2 f の対称性に注意すれば, P = (a+ht, b+kt, c+jt) として,

  [ h, k, j ] (D^2 f)(P) [[h],
                          [k],
                          [j]]

と書けます. 1×3 行列と 3×3 行列と 3×1 行列の積で
 1×1 行列となったものを実数と同一視します.
これを (D^2 f)(P)( (h, k, j), (h, k, j) ) と
考えるわけです.

一般に, f が d 変数 x_1, x_2, ... , x_d の
実数値関数のとき, h = (h_1, h_2, ... , h_d) について,
 P = (a_1, a_2, ... , a_d) での (D^k f)(P)(h, h, ... h) は

  (D^k f)(P)(h, h, ... , h)
  = Σ_{i_1, i_2, ... , i_k = 1}^d
    (∂^k f/∂x_{i_1}∂x_{i_2}…∂x_{i_k})(P) h_{i_1} h_{i_2} … h_{i_k}

で与えられます. (D^k f)(P) は k 階の(共変)テンソルで,
それは R^d の k 個の直積上の多重線形写像だと考えられます.
その (h, h, ... , h) での値が上で書いたものです.

> この場合は,
> D=h∂/∂x+k∂/∂y,
> D^2=h^2∂^2/∂x^2+2hk∂^2/∂x∂y+k^2∂^2/∂y^2
> ：
> D^n=(h∂/∂x+k∂/∂y)^n=Σ_{i=0}.n (nC{n-i})(h∂/∂x)^{n-i} (k∂/∂y)^i
> (∵二項定理)
> ですね。よって
> Df=h(∂/∂x)f+k(∂/∂y)f,
> D^2f=h^2(∂^2/∂x^2)f+2hk(∂^2/∂x∂y)f+k^2(∂^2/∂y^2)f
> ：
> D^n f=(h∂/∂x+k∂/∂y)^n=Σ_{i=0}.n (nC{n-i})(h∂/∂x)^{n-i}f (k∂/∂y)^i f

少し違いますね.

  = Σ_{i=0}^n { n \choose i } (∂^n f/∂x^{n-i}∂y^i) h^{n-i} k^i
 
> すいません。この2×n行列が後置される形のテイラー展開は
> どのようにヤコビ行列が書けるのか分かりません。

 Taylor 展開の一般項は

  1/m! (D^m f)(a, b)((h, k), (h, k), ... , (h, k))
  = 1/m!
    Σ_{i_1, i_2, ... , i_m = 1}^2
    (∂^m f/∂x_{i_1}∂x_{i_2}…∂x_{i_m})(a, b) h_{i_1} h_{i_2} … h_{i_m}
 
で, x_1 = x, x_2 = y, h_1 = h, h_2 = k であり,
 i_p = 2 となる p の数を i とすれば

  = 1/m!
    Σ_{i = 0}^m { m \choose i } (∂^m f/∂x^{m-i}∂y^i)(a, b) h^{m-i} k^i

となります. 同じですね.

> すいません。再訂正です。
> x:=(x_1,x_2,…,x_d)とすると
> Φ(x+t(y-x))=Φ(x+0(y-x))+((∂Φ/∂t)(0))・t+1/2!(∂^2Φ/∂t^2)Φ(0)・t^2
>              +1/3!+…で

 Φ(y) = Φ(x + 1(y - x))
       = Φ(x + 0(y - x)) + d(Φ(x + t(y - x)))/dt|_{t=0}・1
         + (1/2) d^2(Φ(x + t(y - x)))/dt^2|_{t=0}・1^2
         + (1/3!) d^3(Φ(x + t(y - x)))/dt^3|_{t=0}・1^3
         + …
         + (1/(n-1)!) d^{n-1}(Φ(x + t(y - x)))/dt^{n-1}|_{t=0}・1^{n-1}
         + (1/n!) d^n(Φ(x + t(y - x))/dt^n|_{t=θ}・1^n

> ∂Φ/∂t=Σ_{i=1}^d ∂Φ/∂x_i・∂ψ_i(t)/∂t=Σ_{i=1}^d ∂Φ/∂x_i・h_i

  d(Φ(x + t(y - x)))/dt
  = Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x)) (dψ_i/dt)(t)
  = Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x)) (y_i - x_i)

 h_i = y_i - x_i とおきましょうか.

> ∂^2Φ/∂t^2=∂/∂t(∂Φ/dt)=(∂/∂t)Σ_{i=1}^d ∂Φ/∂x_i・h_i
> =Σ_{i=1}^d[(∂/∂x_i)(Σ_{j=1}^d ∂Φ/∂x_j・h_j)・h_i]
> (∵∂Φ/∂t=Σ_{i=1}^d ∂Φ/∂x_i・h_i)
> =Σ_{i=1}^d (∂x_i/∂t∂/∂x_i)^2Φ

出鱈目ですね. 先ず. Φ(x + t(y - x)) を 1 変数 t の
関数と考えているので, ∂ ではなく d を使って,

  d^2(Φ(x + t(y - x)))/dt^2
  = (d/dt)(Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x)) h_i)
  = Σ_{i=1}^d d((∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x)))/dt h_i
  = Σ_{i=1}^d Σ_{j=1}^d (∂(∂Φ/∂x_i)/∂x_j)(x + t(y - x)) dψ_j(t)/dt h_i
  = Σ_{i,j=1}^d (∂^2Φ/∂x_j∂x_i)(x + t(y - x)) h_i h_j
  = Σ_{i,j=1}^d (∂^2Φ/∂x_i∂x_j)(x + t(y - x)) h_i h_j

> よって
> ∂^kΦ/∂t^k=Σ_{i=1}^d (∂x_i/∂t∂/∂x_i)^k Φ

  d^k(Φ(x + t(y - x))/dt^k
  = Σ_{i_1, i_2, ... , i_k = 1}^d
    (∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x + t(y - x)) h_{i_1} h_{i_2} … h_{i_k}

> つまり,(D^kΦ)=Σ_{i=1}^d (∂x_i/∂t∂/∂x_i)^k Φとなるのですかね。

 Taylor 展開の k 次の項は, t = 0 として,

  (1/k!) (D^k Φ)(x)(h, h, ... , h)
  = (1/k!) Σ_{i_1, i_2, ... , i_k = 1}^d
           (∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x) h_{i_1} h_{i_2} … h_{i_k}

です. 注意すべきは, k 次の項は, h の成分,
 h_1 = y_1 - x_1, h_2 = y_2 - x_2, ... , h_d = y_d - x_d
の k 次式になっていて, O(|y - x|^k) の項である,
つまり, 定数 M が存在して, その絶対値が M |y - x|^k で
押さえられるようなものである, ということです.

特に, Φ が C^n 級であれば, |y - x| → 0 のとき,
 (∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x + θ(y - x)) → (∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x)
ですから,

  lim_{|h| = |y - x| → 0}
  |Φ(y) - Φ(x) - Σ_{k=1}^n (1/n!)(D^k Φ)(x)(h, h, ... , h)|/|h|^n
  = 0

となります. このことを

  Φ(y) = Φ(x) + Σ_{k=1}^n (1/n!)(D^k Φ)(x)(h, h, ... , h) + o(|h|^n)

と書いたのです. 今 n = 1 でしたから, 必要なのは,

  Φ(y) = Φ(x) + (D Φ)(h) + o(|h|)

だけでしたが, text で |y - x| < ε として o(ε) が
出て来たのは o(|h|) の代わりでした.

 C^n 級なら o(|h|^n) になるというのも, お分かりでは
なかったようですね. 以下一々訂正しません. それぞれ
どうなるのが正しいかはお考え下さい.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp