ご回答大変有難うございます。
>> そうですか。O⊃Cをcompactとするとどのようにして
>> Φ(C)もcompactは言えるのでしょうか?
> Φ(C) の開被覆 ∪_λ U_λ ⊃ Φ(C) に対して,
> ∪_λ Φ^{-1}(U_λ) は C の開被覆になります.
{U_λ}は非可算個の開被覆ですね。
Φ^-1(∪_λ U_λ) ⊃ Φ(C) (∵開被覆)で
∪_λΦ^-1( U_λ) ⊃ Φ(C) (∵Φは全単射)ですね。
今,Φが連続&全単射だからΦは開写像と言え,開集合の逆像も開集合なのですね。
> ∪_{i=1}^N Φ^{-1}(U_{λ_i}) ⊃ C とすれば,
> ∪_{i=1}^N U_{λ_i} ⊃ Φ(C) です.
なるほど,必ず有限個の開被覆でΦ(C)を覆えるからΦ(C)もcompactになるのですね。
>> でもこの問題1でのΦはC^1級&全単射というだけで線形写像ではありませんよね。
> 問 8 では線形写像が Lipschitz であるという性質だけが
> 使われました.
ここでは線形写像という条件なしでcompact性の保存が示せましたね。
>> そうでした。測度0性が保存されないから位相同型を使わないのではなくて
>> Φが位相同型である事の証明が困難だから,
>> Φが位相同型という事は使わないのでしたよね。
> それは未だ切り分けが出来ていません.
> いずれにせよ, 位相同型だけでは測度零の集合の像が
> 測度零になることは示せません.
そうでしたか。位相同型が大して役立っている訳ではないのですね。
>>> 一つには位相同型であることの証明は容易ではなく,
>>>もう一つには位相同型であるだけでは測度零の集合の 像が
>>>測度零になるとはいえないので, C^1 であることを 使わないとい
>>> けないわけです. ですから,
>> なるほど。位相同型で全て片付くわけではないのでしたね。
> となるわけです.
了解いたしました。
>>> Φ = (Φ_1, Φ_2, ... , Φ_d)
:
> 関数がどのような(独立)変数を持っているのかを示すのに,
> 関数の値の記法を流用するのは通常のことです.
了解いたしました。
>> = ∫_0^1 d(Φ(x + t(y - x))/dt dt = ∫_0^1 DΦ(x + t(y - x))・(y - x) dt」
>> となっていたのでDΦはdΦ/dtの事だとばかり思い込んでいました。 d(Φ(x +
>> t(y - x))/dt=DΦ(x + t(y - x))・(y-x) となるのは どうしてなのでしょうか?
> 「多変数関数の」合成関数の微分法を御存じないようですから,
> もう一度, 復習して下さい.
例えば,z=f(u(t),v(t))の時,zのtによる導関数は
dz/dt=∂z/∂udu/dt+∂z/∂vdv/dt と書けるのですね。なので
d(Φ(x+t(y-x))/dtではu(t)=x+t(y-x),f=Φ,z=f(u(t))と見立てるとdz/dt=∂z/∂udu/dtだから
d(Φ(x+t(y-x))/dt=∂(Φ(x+t(y-x))/∂u・du/dt
=∂(Φ(x+t(y-x))/∂u・d(x+t(y-x))/dt
=∂(Φ(x+t(y-x))/∂u・(y-x)
=DΦ(x+t(y-x))・(y-x)
となるのですね。
DΦはΦ(x+t(y-x))のx+t(y-x)での偏微分という意味だったのですね。
>> 左辺はtの微分,右辺はx + t(y - x)での全微分にy-xを掛けたものですよね。
> d(Φ(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)))/dt
> = Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)) (dψ_i/dt)(t)
> が「多変数関数の」合成関数の微分法の公式です.
ありがとうございます。参考になります。
x_i(t)=ψ_i(t)ですね。上記のdz/dt=∂z/∂udu/dt+∂z/∂vdv/dt と合致していて上手くいってます。
>> ∫_0^1 d(Φ(x + t(y - x))/dt dt =∫_0^1 ((dΦ/dt)(x + t(y - x)))・(y-x)
>> dt(∵合成関数の微分) となり,
> Φ = Φ(x_1, x_2, ... , x_d) は多変数関数ですよ.
> dΦ/dt には意味がありません.
> d(Φ(x + t(y - x)))/dt との区別が分かりますか.
えっ!? 同じものではないのですか。dΦ/dtは単にΦの変数を省略して書いただけかと思ってました。
どのように違うのでしょうか?
もしかして,dΦ/dtはtでの全微分済み,一変数で言えば,
Φ(t)=t^2+t+1の時,dΦ/dt=Φ'(t)、d(Φ(t))/dt=Φ(t)'という意味でしょうか?
>> そうですね。これは分かります。
> 分かっていないと思います.
すいません。
>> x + t(y - x)は1×d行列,(DΦ)(x + t(y - x))は 各成分をd個の変数
>> x_1,x_2,…,x_dでの偏微分ですから d×d行列となるのですね。
>> ここで疑問なのですがどうしてΦ(x+t(y-x))
>> の変数は y_1,y_2,…,y_dとx_1,x_2,…,x_dとがありますよね。
>> y_1,y_2,…,y_dで偏微分しなくてもいいのでしょうか?
> 積分 ∫_0^1 d(Φ(x + t(y - x)))/dt dt を考えるときの
> 変数は t 唯一つです. x = (x_1, x_2, ... , x_d),
> y = (y_1, y_2, ... , y_d) は定ベクトルです.
そうですね。tを変数と看做せばそのようになりますね。
> この x = (x_1, x_2, ... , x_d) は
> Φ = Φ(x_1, x_2, ... , x_d) と書いたときの
> Φ の独立変数 x_1, x_2, ... , x_d とは違います.
x = (x_1, x_2, ... , x_d)はxの各成分,Φ = Φ(x_1, x_2, ... , x_d)はΦ=(Φ_1,Φ_2,
…,Φ_d)と書いた時の
Φ_1がx_1,Φ_2がx_2の相当するR^d→Rの関数の意味だったのですね。
例えば,f(t(x,y))=t(x^2+y,2x-y^3,x+y)ならd=2でx=(x_1,x_2)のx_1とx_2はx_1=x,x_2=yで
すね。
Φ(x_1, x_2,x_3)でのx_1,x_2,x_3はx_1が像がx^2+y^2なるR^2→Rの関数,
x_2は像がx-y^3なるR^2→Rの関数,像がx+yなるR^2→Rの関数なのですね。
>> Eを含む最小の凸集合が凸包 (coE)、そしてその閉包が凸閉(包)の定義なのですね。
> 凸閉とは凸包のつもりでしたが, 凸包の方が一般的ですかね.
> それと
了解いたしました。
> & ここで言っているのは, x, y が共に E の点であっても,
> & E が凸図形でなければ, t ∈ [0, 1] の全ての t について
:
> 最大値の存在を問題にするので, 確かに, その閉包を取る
> ことになります.
有難うございます。今,E=A∪Z (但し,AはF_σ集合,Z⊂Bでm(B)=0)で
Bが有界の場合についてΦがBでLipschitz条件を満たす事を示したいのですよね。
それで
Bの凸包の閉包co(B)~でM:={Φ(x+t(y-x)):t∈[0,1],x,y∈co(B)~}が最大値を採る
(∵(O⊃)Bは有界なので(O⊃)co(B)も有界でΦは連続)
ので,{Φ(x+t(y-x)):t∈[0,1],x,y∈B}も有界でMはその上界。
従って,ΦはBでLipschitz条件を満たすのですね。
その時,ΦはB上で測度0性を保存し,m(Φ(Z))=0(∵Lebesgue測度空間は完備化空間)なので
Φ(Z)はLebesgue可測。
よってF_σ集合Aは既に証明済みのことからΦ(A)もLegesgue可測で,Φ(E)=Φ(A∪Z)=Φ(A)∪Φ(Z)(∵Φは全単射)
はLebesgue可測(∵σ集合体の定義)ですよね。
>> 線分x + t(y - x)がEに横たわっていないと最大値が存在しない場合 という状況が
>> いまいちピンとこないのですが どういう場合が挙げられますでしょうか?
> 線分が E からはみ出したら, そこまで Φ を延長出来なかったり,
> Φ' がその延長できない点に近づくときに無限大に近づいたり
> することが考えられます.
すいません。
E上ではΦ'の上限しか存在しないのでEの凸包の閉包を考えるのでなく,Φ'が無限大になるかもしれないというのはどういう状況でしょうか?
無限大を採る場合でもEをEの凸包の閉包に拡張して考えれば,最大値が存在するというのはいまいち分からないのですが。。。
単にEの閉包だけでも凹んだ部分があると無限大になったりするんですね。凸包&閉包でないといけないのですね。
>>> 閉円板は凸ですので, 分かり易くなります.
>> そうですか。
> で, 結局, 考えている領域を閉円板可算個の和集合として
> 表して議論すれば良いわけです.
つまり,Bは凹んでいたとしても閉円の可算個和集合B=∪_{i=1}^∞B_iで表せ,
各閉円ではΦ'の最大値が存在するからΦは各閉円でLipschitz条件を満たすから,
Φ(B)=Φ(∪_{i=1}^∞B_i)=∪_{i=1}^∞Φ(B_i).
よって,m(Φ(B_j))=0だから
(∵各閉円B_iでΦはLipschitz条件を満たす。よってB_i上で測度0という性質が保存される)
m(Φ(B))=0(∵劣可算加法性)。となるのですね。
>> 有難うございます。Eが非有界なら
>> F_n↑Eなる有界閉集合列F_nを採れば
> F_n も有界な可測集合というだけですね.
そうですね。
>> そうでした。今,測度0という性質が保存されない例を議論しているので
>> m(C)=0ならf(C)>0ではなくm(C)=0ならm(f(C))>0でしたね。
> 普通, 「 m(C) = 0 であるのに m(f(C)) > 0 」と言いませんか.
そうでした。そのように言います。
>>>> 「 (DΦ(z_k + t(x - z_k)) - DΦ(z_k)) は t の関数を成分とする行列
>> ですが, (x - z_k) は定ベクトルですから」 と仰ってますよね。
>>> それで?
>> xは変数ですからx-z_kは定ベクトルではないのではないでしょうか?
> 先程も述べたように, 考えている積分においては t だけが
> 変数です. x は, ある点を表す, 定ベクトルです.
有難うございます。納得です。
>> この3×2行列がfの変数x,yによる導関数ですね。(Df)(x,y)と書くのですよね。
>> 定ベクトル(x_0,y_0)を代入したもの(Df)(x_0,y_0)が(x_0,y_0)での 微分(係数)ですよね。
> (Df)(x, y) が導関数 Df を独立変数込みで表したものか,
> (x, y) という点での微分を表すのかは, 文脈に依存します.
そうなのですか。具体的に区別させるための記法は無いのですね。
>>> 関数と関数の値との区別, 微分と導関数との区別, が出来ますか?
>> はいできます。
> 文脈に沿って区別することが出来ていません.
すいません。
>>> 違います. (D^{n-1}f)(a, b) は (a, b) での f の n-1 階の微分です.
>>>それは多重( n-1 重)線形写像 R^2×R^2×…×R^2 → R になっています.
>> え? df(a)/dxと書いたら,導関数df(x)/xにx=aを代入したものですよね。。
> df(a)/dx は紛らわしい書き方です.
> d(f(a))/dx と (df/dx)(a) が区別されるように書きましょう.
ありがとうございます。前者はf(a)をxでの微分したものなので0ですね。後者はx=aでの微分係数ですね。
>> f(a)の微分と言ったらf(a)は定数ですから0になってしまうのではないでしょうか?
> で, どこに「 f(a) の微分」に相当することが書いてありますか?
> 上でも私は「 f の n-1 階の微分」という書き方をしています.
すいません。失礼いたしました。"f(a)の微分"はf(x)の導関数にx=aを代入したものですね。
つまり,それをx=aでの微分と言うのですね。
>>>> 剰余項R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk) (但し,0<θ<1)なるのですね。
>>> 剰余項はそれでは駄目です.
>> えっ? 何処がダメなのでしょうか?
> では, その剰余項を用いて, Taylor の定理を証明して
> 御覧なさい. 出来ませんから.
f(a+h, b+k) = f(a, b) + Df(a, b)(h, k) + 1/2!(D^2f)(a,b)((h,k), (h,k))
+
…+ 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b)((h,k), ... , (h,k)) + R_n
R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk) (但し,0<θ<1)
に於いて,
(証)
a,b,h,kを定数とみて,次のtの関数を考える。
F(t)=f(a+ht,b+kt).
これは1変数のtの関数だから,Maclaurinの展開式をx=1の場合で適用して,
F(1)=F(0)+F'(0)+1/2!F''(0)+…+1/(n-1)!F^(n-1)(0)+R_n,R_n=1/n!F^(n)(θ)
(0<θ<1)を得る。
D:=h∂/∂x+k∂/∂yとすると
F'(t)=Df(a+ht,b+kt),F''(t)=D^2f(a+ht,b+kt),…で
F^(i)(t)=D^if(a+ht,b+kt), F^(i)(0)=D^if(a,b) (i=1,2,…,n)
よってF(1)の式にF(1)=f(a+h,b+k)、F^(n)(θ)=D^nf(a+θh,b+θk)を代入すると,
f(a+h, b+k) = f(a, b) + Df(a, b)(h, k) + 1/2!(D^2f)(a,b)((h,k), (h,k))
+
…+ 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b)((h,k), ... , (h,k)) + R_n
R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk) (但し,0<θ<1)を得る。
でしょうか?
>>>> 剰余項R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk,c+jθ) (但し,0<θ<1)となるのですね。
>>>>
>>> それでは駄目です.
>> えー? これもどう書けばいいのでしょうか?
> これも同じく, その剰余項を用いて, Taylor の定理を
> 証明して御覧なさい. 出来ませんから.
f(a+h, b+k,c+j)=f(a,b,c)+Df(a,b,c)(h,k,j)+1/2!(D^2f)(a,b,c)((h,k,j),
(h,k,j))+
…+1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b,c)((h,k,j), ... ,(h,k,j))+R_n
R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk,c+θj) (但し,0<θ<1)
に於いて,
(証)
a,b,c,h,k,jを定数とみて,次のtの関数を考える。
F(t)=f(a+ht,b+kt,c+jt).
これは1変数のtの関数だから,Maclaurinの展開式をx=1の場合で適用して,
F(1)=F(0)+F'(0)+1/2!F''(0)+…+1/(n-1)!F^(n-1)(0)+R_n,R_n=1/n!F^(n)(θ)
(0<θ<1)を得る。
D:=h∂/∂x+k∂/∂y+j∂/∂zとすると
F'(t)=Df(a+ht,b+kt,c+jt),F''(t)=D^2f(a+ht,b+kt,c+jt),…で
F^(i)(t)=D^if(a+ht,b+kt,c+jt), F^(i)(0)=D^if(a,b,c) (i=1,2,…,n)
よってF(1)の式にF(1)=f(a+h,b+k,c+j)、F^(n)(θ)=D^nf(a+θh,b+θk,c+θj)を代入すると,
f(a+h,b+k,c+j) = f(a,b,c) + Df(a,b,c)(h,k,j) + 1/2!(D^2f)(a,b,c)
((h,k,j), (h,k,j))+
…+ 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b,c)((h,k,j), ... , (h,k,j)) + R_n
R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk,c+θj) (但し,0<θ<1)を得る。
でしょうか?
すいませんよく分かりませんでした。
>>>> 「位相数学入門」中岡稔著
>>>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/differntial_20090507.jpg
:
> 元の λ(h) を λ(a) と読み間違ったのではないですか.
さようです。
> で, h が消えてしまった. Taylor の定理でも h に対応
> するところが全て消えている.
どこらへんでしょうか。
> そもそも, λ(h) は線形写像 λ: R^n → R^m による
> h ∈ R^n の像のことですが, 線形写像 λ を行列と
:
> 書いたとして, それに h というベクトルを掛けなければ,
> R^m のベクトルを表すようにはなりません.
有難うございます。
g(x)hでのg(x)は表現行列だったのですね。λはR^mからR^nの線形写像ならλ(h)でいいですが
λの表現行列[λ]で書く時には[λ]hと書かねばならないのですね(f(x)やf(x+h)はR^mの元なので)。
>>> λ = g(a) とすれば, (そう λ は f の a での微分です) lim_{h→0} ||f(a +
:
> g(x) h は, 行列 g(x) とベクトル h の積です.
有難うございます。
>> 「有界閉⇔compact」は成り立ちませんよね。
> ユークリッド空間だから成立します. どこかで
> Heine-Borel の被覆定理について言及されていたのは,
> 理解せずに述べておられたのですね.
すいません。Euclid空間ではcompact集合⇒閉集合なのですね。参考になります。
>> となるのですね。えーと,一様ではなくただの連続なら, |x-z_k|<εなる或るk
>>については ||det(Φ'(x))| - |det(Φ'(z_{k_0}))||≧δとなるかもしれないのですよね。
>> でも,||det(Φ'(x))| - |det(Φ'(z_{k_0}))||<δを満たすよ うな|x-z_k|<εなるkは一つ
>> あればいいのではないでしょうか? 一様性がどうして必要なのでしょうか?
> どの k についても同じ ε で, |x - z_k| < ε であれば,
> ||det(Φ'(x))| - |det(Φ'(z_{k_0}))|| < δ となる
> ということを導くのに, 一様連続性を使っているのです.
xはE内の一点,z_1,z_2,…は各立方体Q_kの中心ですよね。
どんなに小さなεをとっても任意のkに対して,|x-z_k|<εなるxが存在するという意味でしょうか?
xはどの中心にも<εなだけ近いという意味がよく分かりませんがQ_kは直径はばらばらなのですよね。
どんなに小さなεでも全直径に近いxは有りようがないと思うのですが。。
>>> それは貴方の,
>> >>>> そして,0<∀ε∈Rに対して, |Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|
:
> などという疑問が出てきたのではないですか.
> そういう Browser をお使いなら, それ相応の
> 注意をお払い下さい.
大変恐縮です。
|det(Φ'(z_k))|χ_{Q_k}(x)でχ_{Q_{k_0}}(x)は1になりますがk_0以外のkでは
χ_{Q_{k}}(x)は0になりますね。 納得です。
>> 有界集合Eでその閉包cl(E)で|det(Φ'(x))|が存在するから Eでも|det(Φ'(x))|は
>> 有界で |Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|χ_{Q_k}(x)|<∃K∈R…②が言えて, 有界収束定
>> 理が使える。。という構図でしょうか?
> 実際, 測度零の集合を除いて, 連続関数に一様収束
> しているので, 積分の収束は殆んど明らかです.
えーと,ここはΣ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|χ_{Q_k}(x)|が|det(Φ'(x))|に一様収束しているという事でしょ
うか?
どうして一様収束していると分かるのでしょうか?
Fnews-brouse 1.9(20180406) -- by Mizuno, MWE <mwe@ccsf.jp>
GnuPG Key ID = ECC8A735
GnuPG Key fingerprint = 9BE6 B9E9 55A5 A499 CD51 946E 9BDC 7870 ECC8 A735