ご回答大変有難うございます。

>> うーんとユークリッド空間内のOからO'への全単射だから Φはcompact性保存という意味でしょうか??
> Hausdorff 位相空間から Hausdorff 位相空間への連続写像は
> compact 集合を compact 集合に写像します.

これは有難うございます。R^dはHausdorff位相空間でΦは連続なのでcompact性が保存されるのですね。

> 開写像になる
> ことを示すにはユークリッド空間の開集合からユークリッド
> 空間の開集合への全単射連続写像であることが使われます.

Φが開集合になればΦは位相同型が言えますよね。
でもΦ:O→O' (但し,O,O'⊂R^dは開集合)は全単射連続からΦが開集合である事を示すのは難しいんですよね。

> 位相同型であることを言うには,
：
> その証明には大道具が必要となります.

了解いたしました。

> それに対して, 連続写像による compact 集合の像が
> compact 集合になることは, 容易に証明できます.

位相同型の証明は難しいので本証明にはこのcompact性の保存を用いるのですね。

>> という事はΦはcompact性保存だけからEがLebesgue可測なら
：
> Φ(E) が Lebesgue 可測集合になることを示しなさい, というのが
> 問題の趣旨です.

ありがとうございます。見通しよくなりました。

>> Φは連続&全単射だがΦ^-1は連続だが分からないのですよね。
> 直ぐには分かりません.

はい。

>> その場合,Φは位相的性質を保存すると思ってましたら, そのような事は
>> 都合のいい事は言えないのですね。 Φが連続&全単射から取り合えず
>> 言える事はcompact性が保存される事だけなのですね。
> それは易しい.

そうですか。O⊃CをcompactとするとどのようにしてΦ(C)もcompactは言えるのでしょうか?

>> でも問8の(a)
>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/reference_first.jpg では線形写像
>> に対して,compact性が保存されると言ってますが, ここではΦは線形写像とは
>> 限らないので,飽くまでこの問8を参考にして, compact性の
>> 保存性を言わねばならないのですよね。
> その証明には線形写像が連続写像であるということだけが
> 使われます.

でもこの問題1でのΦはC^1級&全単射というだけで線形写像ではありませんよね。

>> Φの位相同型の証明はもはや難しいので, 位相同型では
>> 測度0の保存はできないのでしたね。
> ごっちゃになっているようですが,

そうでした。測度0性が保存されないから位相同型を使わないのではなくてΦが位相同型である事の証明が困難だから,
Φが位相同型という事は使わないのでしたよね。

> 一つには位相同型であることの証明は容易ではなく,
> もう一つには位相同型であるだけでは測度零の集合の
> 像が測度零になるとはいえないので, C^1 であることを
> 使わないといけないわけです. ですから,

なるほど。位相同型で全て片付くわけではないのでしたね。

>> Φのcompact性保存からΦのF_σ集合の保存性が言え,
> これと,
>> それから測度の0の保存性も言えるのですね。
> これは, 別のことです.

了解いたしました。

>> これ「Φが有界集合BでC^1級全単射ならΦはBで測度0を
>> 保存する」も 問8と同様の議論で示せるのですね。
> そういうことです.

了解いたしました。

>> なるほど。微積分の基本定理は「∫_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)」なので F(1)=Φ(x +
>> 1(y - x)),F(0)=Φ(x + 0(y - x))と見立てると Φ(1)-Φ(0)=Φ(x + 1(y -
>> x))-Φ(x + 0(y - x)) =∫_0^1 Φ(x + t(y - x))d/dt dtとなるのですね。
> d/dt が後に来てはおかしい.

すいません。また間違ってしまいました。

∫_0^1 Φ(x + t(y - x))d/dt dt
↓
∫_0^1 d/dtΦ(x + t(y - x)) dt

でいいでしょうか?

>>> DΦ(x + t(y - x)) は Φ の x + t(y - x) における 微分です.
>> という事は x:=t^(x_1,x_2,…,x_d),y:=t^(y_1,y_2,…,y_d) (但し,tは転置を表す)
>>
>>
：
>> というd×d行列ですよね。
> やはり, お分かりではない.

ええ。そうですか。これは失礼いたしました。

>  Φ = (Φ_1, Φ_2, ... , Φ_d)

各成分Φ_1, Φ_2, ... , Φ_dはR^d→Rの写像ですね。

>     = (Φ_1(x_1, x_2, ... , x_d), Φ_2(x_1, x_2, ... , x_d),
>        ... , Φ_d(x_1, x_2, ... , x_d))

これはΦによるxの像,R^dの元ですよね。どうして
 (Φ_1, Φ_2, ... , Φ_d)と
(Φ_1(x_1, x_2, ... , x_d), Φ_2(x_1, x_2, ... , x_d), ... , Φ_d(x_1,
x_2,
... , x_d))
とが等号で結べるのでしょうか。

>     = (Φ_1(x_1, x_2, ... , x_d), Φ_2(x_1, x_2, ... , x_d),
> に対して,
>  DΦ = (DΦ)(x_1, x_2, ... , x_d)
> は, (i, j)-成分が
>  ∂Φ_i/∂x_j = (∂Φ_i/∂x_j)(x_1, x_2, ... , x_d)
> という Φ_i の x_j による偏導関数になっている
> d×d 行列で,

ありがとうございます。分かります。x_iで偏微分していくのですね。

「Φ(x) - Φ(y)
= ∫_0^1 d(Φ(x + t(y - x))/dt dt
= ∫_0^1 DΦ(x + t(y - x))・(y - x) dt」
となっていたのでDΦはdΦ/dtの事だとばかり思い込んでいました。
d(Φ(x + t(y - x))/dt=DΦ(x + t(y - x))・(y-x) となるのはどうしてなのでしょうか?
左辺はtの微分,右辺はx + t(y - x)での全微分にy-xを掛けたものですよね。
∫_0^1 d(Φ(x + t(y - x))/dt dt=∫_0^1 ((dΦ/dt)(x + t(y - x)))・(y-x) dt(∵合
成関数の微分)
となり,ここからどうして
∫_0^1 (DΦ(x + t(y - x)))・(y-x) dtとなるのでしょうか?
DΦ=dΦ/dtが成り立つのでしょうか?

> (DΦ)(x + t(y - x)) はその
>  x + t(y - x) = (x_1 + t(y_1 - x_1), x_2 + t(y_2 - x_2),
>                  ... , x_d + t(y_d - x_d))
> における値, 即ち,
>  (∂Φ_i/∂x_j)(x_1 + t(y_1 - x_1), x_2 + t(y_2 - x_2),
>                 ... , x_d + t(y_d - x_d))
> を (i, j)-成分とする d×d 行列です.

そうですね。これは分かります。
x + t(y - x)は1×d行列,(DΦ)(x + t(y - x))は各成分をd個の変数x_1,x_2,…,x_dでの偏微分ですから
d×d行列となるのですね。
ここで疑問なのですがどうしてΦ(x+t(y-x))の変数はy_1,y_2,…,y_dとx_1,x_2,…,x_dとがありますよね。
y_1,y_2,…,y_dで偏微分しなくてもいいのでしょうか?

>>> E の凸閉での最大値になります.
>> 凸閉とは凹んだ部分が無い閉領域ですよね。
> ここで言っているのは, x, y が共に E の点であっても,
> E が凸図形でなければ, t ∈ [0, 1] の全ての t について
> x + t(y - x) が E の点であるとは限らないので,

x+t(y-x)とはyとxを結ぶ線分ですね。

> E に x, y ∈ E についての x + t(y - x)  (t ∈ [0, 1])
> という点全てを付け加えた集合(それが E の凸閉です)を

Eを含む最小の凸集合が凸包 (coE)、そしてその閉包が凸閉(包)の定義なのですね。

> 考えて, その上での最大値を取らないといけない, と
> いうことです.

Eの凸閉ccl(E)ならM = max{|DΦ(x + t(y - x))| ; x,y∈ccl(E), t∈[0, 1]} が存在するので
|Φ(x) - Φ(y)|/|x - y|≦M (但しx≠y)なので,|Φ(x) - Φ(y)|≦ M |x - y|で
x=yの時は,Eは有界閉なのでΦ(x)=Φ(y)でやはりこの時も|Φ(x) - Φ(y)|≦ M |x -
y|が成り立つのですね。

線分x + t(y - x)がEに横たわっていないと,max{|DΦ(x + t(y - x))| ; x,y∈E,
t∈[0, 1]}が
存在するとは限らないのでMが採れないしれないので困る。
という訳ですね。
線分x + t(y - x)がEに横たわっていないと最大値が存在しない場合という状況がいまいちピンとこないのですが
どういう場合が挙げられますでしょうか?

>>> その意味では 単に有界閉領域というだけではなく, 閉円板で 考えておく方が良いでしょう.
>>>証明としては, 閉円板に含まれる測度零の集合の像が測度零で あることが 言えれば, 任意の測度零の集合の像が 測度零であることは, 分けて考えて証明できるので,
>>>十分です.
>> ただの有界閉領域で考えてはダメなのでしょうか? 凹閉の場合とはどうなるのでしょうか?
> 凹閉などというものはありません.

そうでしたか。これは失礼いたしました。

> 閉円板は凸ですので, 分かり易くなります.

そうですか。

>> (a)ではE=A∪Z (但しAはF_σ集合,Z⊂B,Bは測度0の集合)と表せる。 (i) B=φの場合,
>> つまり,EがF_σ集合の場合, (ii) B≠φで有界閉集合の場合, (iii) B≠φで非有界閉集合の場合 と 場合分けしましたよね。
> (a) での場合分けは, E が F_σ 集合の場合,

E=A∪Z (但し,AはF_σ集合,Zは測度0の集合)と表した時のZ=φの場合ですよね。

> E が有界な可測集合の場合,

上記でのAとZが有界の場合ですよね。
その場合は閉包Cl(E)がLipschitz条件を満たすので

> E が有界とは限らない可測集合の
> 場合です. 「閉集合」という仮定はありません.

有難うございます。Eが非有界ならF_n↑Eなる有界閉集合列F_nを採れば
E=∪_{n=1}^∞(F_n＼F_{n+1})なる互いに素な有界可測集合F_n＼F_{n+1}が採れた事になるので
Φ(E)=Φ(∪_{n=1}^∞(F_n＼F_{n+1}))=∪_{n=1}^∞Φ(F_n＼F_{n+1})(∵Φは全単射)はLebesgue
可測
(∵F_n＼F_{n+1}は(有界)Lebesgue可測なので既に証明済みの事からΦ(F_n＼F_{n+1})もLebesgue可測。
従って,σ集合体の定義から∪_{n=1}^∞Φ(F_n＼F_{n+1})もLebesgue可測)。
となるのですね。

>> それとBが有界開集合や非有界開集合の場合は考えなくていいのでしょうか?
> 閉集合でなければ開集合というわけでもないですね.

そうですね。上記の場合分けで十分でしたね。

>> 「f:(0,1)→(0,1)でf(C)>0 (但し,CはCantor集合)なる
>>　位相同型写像fが 存在するのですね」と言いたかったのでした。
> m(f(C)) > 0 ですね.

そうでした。今,測度0という性質が保存されない例を議論しているので
m(C)=0ならf(C)>0ではなくm(C)=0ならm(f(C))>0でしたね。

>> えっ? z_kでの微分なのですか?
> 貴方は「一変数関数 y = f(x) の x = 0 での微分」という
> 文章を読んでも同じようにびっくりされますか.

一変数ではx=0での微分係数と呼ぶようですね。
z_kでの微分とは,z_kでの微分係数の事なのですね。

>> z_kは定ベクトルですよね。定ベクトルでの微分とはどういう意味でしょうか?
> 微分というのは, (全)微分可能な点, 各点ごとに定まっているものです.

有難うございます。微分係数の事だったのですね。つまり
DΦ(z_k)=
(∂Φ_1/∂x_1(z_k),∂Φ_1/∂x_2(z_k),…,∂Φ_1/∂x_d(z_k))
(∂Φ_2/∂x_1(z_k),∂Φ_2/∂x_2(z_k),…,∂Φ_2/∂x_d(z_k))
：
(∂Φ_d/∂x_1(z_k),∂Φ_d/∂x_2(z_k),…,∂Φ_d/∂x_d(z_k))
だったのですね。

>> 「 (DΦ(z_k + t(x - z_k)) - DΦ(z_k)) は t の関数を成分とする行列ですが,
>> (x - z_k) は定ベクトルですから」 と仰ってますよね。
> それで?

xは変数ですからx-z_kは定ベクトルではないのではないでしょうか?

>> 例えば、写像fがf(t(x,y))=t(x^2+y,2x-y^3,x+y)というR^2→R^3 なら(ここでの
>>tは転置の意味) fの導関数Dfは ∂(x^2+y)/∂x　∂(x^2+y)/∂y ∂(2x-y^3)/∂x
>>∂(2x-y^3)/∂y ∂(x+y)/∂x　∂(x+y)/∂y = 2x　1 2　-3y^2 1   1 という3×2行列になるのですよね。
> それで?

この3×2行列がfの変数x,yによる導関数ですね。(Df)(x,y)と書くのですよね。
定ベクトル(x_0,y_0)を代入したもの(Df)(x_0,y_0)が(x_0,y_0)での微分(係数)ですよね。

> 関数と関数の値との区別, 微分と導関数との区別,
> が出来ますか?

はいできます。

>> D^{n-1}f)(a,b)((h,k), ... , (h,k))で D^{n-1}f)(a,b)は(a,b)での
>> fのn-1階全微分に(a,b)を代入したものですよね。
> 違います. (D^{n-1}f)(a, b) は (a, b) での f の n-1 階の微分です.
> それは多重( n-1 重)線形写像 R^2×R^2×…×R^2 → R になっています.

え? df(a)/dxと書いたら,導関数df(x)/xにx=aを代入したものですよね。。
f(a)の微分と言ったらf(a)は定数ですから0になってしまうのではないでしょうか?

>> よって(h,k), ... , (h,k)))は2行k列の行列の意味でしょうか?
> R^2 のベクトル (h, k) を n-1 個並べたものです.

D^{n-1}f)(a,b)((h,k), ... , (h,k))で
D^{n-1}f)(a,b)はf(a,b)のn-1階全微分で(h,k), ... , (h,k)))は2×(n-1)行列なのですね。

>> 剰余項R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk) (但し,0<θ<1)なるのですね。
> 剰余項はそれでは駄目です.

えっ? 何処がダメなのでしょうか?

>> 3次では f(a+h,b+k,c+j) = f(a,b,c)+Df(a,b,c)(h,k,j) + 1/2!(D^2f)(a,b,c)
>> ((h,k,j), (h,k,j))+ … + 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b,c)((h,k,j), ... ,
>> (h,k,j)) + R_n ((h,k,j), ... , (h,k,j))は3行j列の行列で
> 3行 n-1列の行列等と考えても構いませんが,
> (D^{n-1}f) が分かっていなければ, 役に立ちません.

D^{n-1}fはfのn-1階導関数ですよね。

>> 剰余項R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk,c+jθ) (但し,0<θ<1)となるのですね。
> それでは駄目です.

えー? これもどう書けばいいのでしょうか?

>>> bijection Φ が C^1 級であれば, m(Φ(E)) = ∫_E |det Φ'(x)| dx は成立します.
>> bijection Φ が C^1 級であれば, m(Φ(E))=∫_E |det Φ'(x)| dxが成立 は当然と仰っているのでしょうか?
> 多くの教科書では Φ^{-1} も C^1 級という条件を付けて
> (つまり, DΦ が可逆であるという条件を付けて,)
> 証明してあるのですが, bijection Φ が C^1 級だけで,
> 実は証明されます.

そうだったんですか。Φ^{-1} も C^1 級という条件を付けるのはこの条件があった方が証明が楽からなのですね。

>> なので証明は要らないと仰ってるのでしょうか?
> 証明は易しくありません.

なるほど。分かりました。

>> 「位相数学入門」中岡稔著
>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/differntial_20090507.jpg
>> にこのように載っているのですが私の読み方が甘いのかもしれません。
> そこに書いてあるのは, 線形写像 λ: R^n → R^m が存在して,
>  lim_{h→0} ||f(a + h) - f(a) - λ(h)||/||h|| = 0  (h ∈ R^n)
> となるなら f は a において微分可能, です.
> λ(h) が読めませんか.

すいません。λ(h)=g(x)hと書けるという事でしょうか?
どうしてでしょうか?

> λ = g(a) とすれば, (そう λ は f の a での微分です)
>  lim_{h→0} ||f(a + h) - f(a) - (g(a))(h)||/||h|| = 0  (h ∈ R^n)
> であり, R^n のある領域 D の各点 x で微分可能であれば,
> 各 x において,
>  lim_{h→0} ||f(x + h) - f(x) - (g(x))(h)||/||h|| = 0  (h ∈ R^n)
> です. (g(x))(h) と書くより g(x) h の方が見易いでしょう.

すいません。g(x)hはg(x)のh倍と解釈してはダメなのでしょうか?

>>> E は有界集合なので, その閉包上では一様連続です.
>> これは「R^d上でf_n→fでR^d⊃E上(但し,Eは有界)でf_n→f:連続ならば f_n→fはCl(E)上で
>> 一様連続(但し,Cl(E)はEの 閉包)」 という命題があるのでしょうか?
> 私の言っているのは, 連続関数はユークリッド空間の
> 有界閉集合(つまり compact 集合)

「有界閉⇔compact」は成り立ちませんよね。

> 上では一様連続である,
> という簡単な事実です.

有界閉集合上だけでなくcompact集合上でも一様連続となるのですね。

> なっているとします. 今必要なのは, 任意の正数 δ に対して,
> 十分 ε が小さければ,
>  sup_{x ∈ ∪_{k=1}^∞ Q_k} ||det(Φ'(x))|
>                               - Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)|
>  < δ
> となること, です.
> x ∈ ∪_{k=1}^∞ Q_k について,
> x ∈ Q_k となる k は唯一つですから, それを k_0 とすれば,
> Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x) = |det(Φ'(z_{k_0}))|
> です. x ∈ Q_{k_0} なら |x - z_{k_0}| < ε であり,

そうですね。これは分かります。

> |det(Φ'(x))| の一様連続性から, ε を

下記の<δとなる十分z_{k_0}に近いx,即ち,|x-z_{k_0}|<εに対して

>  ||det(Φ'(x))| - |det(Φ'(z_{k_0}))|| < δ

となるのですね。えーと,一様ではなくただの連続なら,|x-z_k|<εなる或るkについては||det(Φ'(x))| - |det(Φ'(z_
{k_0}))||≧δとなるかもしれないのですよね。でも,||det(Φ'(x))| - |det(Φ'(z_{k_0}))||<δを満たすよ
うな|x-z_k|<εなるkは一つあればいいのではないでしょうか?
一様性がどうして必要なのでしょうか?

> となるようにとれば, どの x ∈ ∪_{k=1}^∞ Q_k についても
>  ||det(Φ'(x))| - Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)| < δ
> となり, 上が示せるわけです.

なるほど。xはQ_1,Q_2,…のいずれかに属する元なのですね。
∀x∈∪_{k=1}^∞ Q_k に対して,あるk_0∈Nが存在して,x∈Q_{k_0}ですね。
つまり,x∈Eを固定すると,0<∀δ∈Rに対し,
||det(Φ'(x))| - Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)| < δでx∈Q_kとなるような自然数
kが必ず採れる。
よって,Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)→|det(Φ'(x))|となるのですね。
つまり,x∈Eとδを決めると,εが決まり,被覆列{Q_k}が決まり, 必ずx∈Q_kなるkが採れ,
||det(Φ'(x))| - Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)| < δとなる。
という事ですね。

>> でもその無限和Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|はどうして有界と分かるのでしょうか?
> それは貴方の,
>>>> そして,0<∀ε∈Rに対して, |Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|
>>>> χ_{Q_k}(x)|<∃K∈R…②.で Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|
>>>> χ_{Q_k}(x)∈L^1…③なら
> という書き方が悪い. 私は
>> > そして,0<∀ε∈Rに対して, |Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|
>> > χ_{Q_k}(x)|<∃K∈R…②.で Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|
>> > χ_{Q_k}(x)∈L^1…③なら
> と引用した筈です.

ん? すいません。これら前者と後者で何が異なっているのでしょうか?

> 有界なのは
>  Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k)| χ_{Q_k}(x)
> です.

これは||det(Φ'(x))| - Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)| < δから
-δ+||det(Φ'(x))|<Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)<δ+|det(Φ'(x))|と書ける
ので有界なのですね。

>> Eが有界開集合で|det(Φ'(x))|は連続関数なら,|det(Φ'(x))|はE上で有界ですよね。
> 単に, |det(Φ'(x))| が有界開集合 E 上での連続関数で
> あるだけなら, |det(Φ'(x))| は E 上で有界であるとは
> 限りません.

そうでした。E=(0,1)は有界ですがy=1/xは連続非有界ですね。Eは閉集合でなければなりませんでした。

>> すいません。ここでどうして,閉包の議論が出てくるのでしょうか?
> 閉包上でも |det(Φ'(x))| が存在して連続関数であることが必要です.

有界集合Eでその閉包cl(E)で|det(Φ'(x))|が存在するからEでも|det(Φ'(x))|は有界で
|Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|χ_{Q_k}(x)|<∃K∈R…②が言えて,
有界収束定理が使える。。という構図でしょうか?

>> ええっ?無限和Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|の各項
>> だけしか 有限と分かっていないのですが。
> 無限和 Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x) の
> 話ですから.

ここは②がどうして言えるかの話ですよね。
つまり,χ_{Q_k}(x)=1なるkは最大でもd個で(∵点xを取り囲める立方体は高々d個)
それ以外は0となるのでcl(E)での|det(Φ'(x))|の最大値K'が存在するから
Eででも|det(Φ'(x))|は有界と分かる。
その時,Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)≦K'・d
(∵xを取り囲んでいないQ_kについてはχ_{Q_k}(x)=0)で
K:=K'・dと採れるから②が言えるのですね。

>> すいません。ここでもどうして閉包を気にせねばならないのでしょうか?
> 閉包上での |det(Φ'(x))| の存在と連続性が必要です.

②を得るためには欠かせないのですね。