工繊大の塚本です.

In article <a9d8b486-928c-4780-91b6-5a50dabd5ab0@t10g2000vbg.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <090428191700.M0121570@cs1.kit.ac.jp>
> Tsuakmoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > E は可測集合と言うだけです.
> 
> Eがただ非有界集合だけだとLegesgue可測かどうかわかませんよね。
> どのようにしてEがLegesgue可測と言えますでしょうか?

話が食い違っていますが, 任意の O の可測部分集合 E について,

  m(Φ(E)) = ∫_E |det(Φ'(x))| dx

が成立することを示すのが, (b) の目標で, その為に,
先ず, E が有界開集合の場合に成立することを示し,
次いで, E が有界な可測集合の場合に成立することを
示し, 最後に任意の可測集合で成立することを示せば
良い, と申し上げたわけです. なお, ここでは O の
部分集合を考えていますから, 「有界」というのは
閉包が O に含まれることも合わせて考えた方が良い.

そこで,

* 非有界閉集合Eを互いに素な有界閉集合の和∪_{i=1}^∞E_iとして表される事を

と, E が「閉集合」であるかのような記述をされたので,
最終的な目標の E は「可測集合と言うだけです」と
申し上げました.

で, どこから「ただ非有界集合」というのが出て来たのでしょうか.

> 「E⊃Fの時,∫_F g(x)dx=∫_E χ_Fg(x)dx」が成り立つのでしょうか

自明ですね.

> fのcanonical formはf=Σ_{i=1}^m a_i χ_{O'_i}でしたが
> fΦのcanonical formがどうしてΣ_{i=1}^m a_i χ_{O_i}になるのでしょうか?

  (f○Φ)(x)
  = f(Φ(x))
  = Σ_{i=1}^m a_i χ_{O'_i}(Φ(x))
  = Σ_{i=1}^m a_i χ_{O_i}(x)

となることは Φ(x) ∈ O'_i ⇔ x ∈ Φ^{-1}(O'_i) = O_i から
明らかです.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp