ご回答大変有難うございます。

> ここではそれと違って, X も Y も
> Euclid 空間の開集合であることが効いています.

うーんとユークリッド空間内のOからO'への全単射だからΦはcompact性保存という意味でしょうか??

> 但し, 位相同型写像になることの証明はそれほど簡単では
> ありませんから,

「Φは微分可能なら連続で全単射だからOとO'は位相同型になる」
にはΦ^-1も連続であるという証明が欠けていたのですね。
ΦとΦ^-1が連続で初めてΦは位相同型と言えるのですね。

> 位相同型写像になることを使わない証明
> のほうが良いでしょう.

という事はΦはcompact性保存だけからEがLebesgue可測ならΦ(E)もLebesgue可測が言えるという事ですね。

>> それはどのようにして証明できますでしょうか? (Y⊃∀Bが開集合
>> ならf^-1(B)も開集合を言わねばならないのですよね)
> それは f が連続になる為の条件です.
> f^{-1} も連続を言うには, X ⊃ O が開集合のとき,
> f(O) も開集合を言う必要があります.

なるほど。位相同型にはΦ^-1も連続で無ければならなかったのですね。

> それが簡単ではない部分です.

なるほど。

>> EがF_σ集合でない場合はどうなるのでしょうか?
> それを言う為に零集合の像を調べているのが分かりませんか.

Corollary3.5からE=A∪Z (但しAはF_σ集合,Zは測度0の集合)と表せるから
EがF_σ集合で無い場合はE=A∪Z (但しAはF_σ集合,Zは測度0の集合,Z≠φ)という形をしている訳ですね。

>> Borel集合は開集合とその補集合
>> の可算回の可算個の和集合と共通部分ですからね。
> それは正確な記述ではないですね. 「可算個の」というのは
> 意味がありますが, 「可算回の」というのをこういうところで
> 使うのは感心しません.

そうですね。回数には有限回か無限回かしかありませんものね。可算回と言ったらあたかも非可算回とかの言い方もあるみたいに聞こえますね。

> Borel 集合の全体とは, 開集合を含み, 補集合を取る操作と
> 可算和を作る操作(従って, 可算個の集合の共通部分をとる操作)
> で閉じている

これはσ性ですね

> 集合族の内で最小のものである, というだけです.

結局,具体的に表す事はできないのでしたね。

>> (a)はcompactという性質を使ってどのように証明できるのでしょうか?
> compact の像が compact であることを使えば, F_σ 集合の
> 像が F_σ 集合であることが分かります.

Φは連続&全単射だがΦ^-1は連続だが分からないのですよね。
その場合,Φは位相的性質を保存すると思ってましたら,そのような事は都合のいい事は言えないのですね。
Φが連続&全単射から取り合えず言える事はcompact性が保存される事だけなのですね。

でも問8の(a)
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/reference_first.jpg
では線形写像に対して,compact性が保存されると言ってますが,ここではΦは線形写像とは限らないので,飽くまでこの問8を参考にし
て,compact性の保存性を言わねばならないのですよね。

> 任意の可測集合は
> F_σ 集合と測度零の集合の和集合として書けますから,
> 測度零の集合の像が測度零であることを示せば, それで
> 証明が完結します.

ありがとうございます。証明の手順が分かりました。

>> 一口に位相的性質と言いますがところで
>> 位相的性質の定義とは何なのでしょうか?
> 位相同型で保たれる性質です.

了解いたしました。

>> 「m(E) = 0 のとき, E = ∪_{n=1}^∞ E_n と, ： m(Φ(E_n)) = 0 が言えて,
>> m(Φ(E)) = 0 となります.」 から結局は零集合がΦで保存されたのでは
>> ないでしょうか? (この証明はlocally Lipschitzが使われはしましたが)
> その証明には Φ が単に位相同型であるだけでなく,

Φの位相同型の証明はもはや難しいので,位相同型では測度0の保存はできないのでしたね。

> C^1 級の写像であるということが必要でした.

Φのcompact性保存からΦのF_σ集合の保存性が言え,それから測度の0の保存性も言えるのですね。
これ「Φが有界集合BでC^1級全単射ならΦはBで測度0を保存する」も
問8と同様の議論で示せるのですね。

> 従って, 位相的性質ではありません.

なるほど。分かりました。

>> 「位相同型写像Φが有界閉領域AでLipschitz条件を満たす
>> ⇔Aが零集合ならΦ(A)も零集合」なのですね。
> 左向きの矢印は成り立たないでしょう.

了解いたしました。

>>>  Φ(x) - Φ(y) = ∫_0^1 d(Φ(x + t(y - x))/dt dt
>> すいません。どうしてこのように変形できるのでしょうか?
> おっと失礼,
>  Φ(y) - Φ(x)
>  = ∫_0^1 d(Φ(x + t(y - x))/dt dt

有難うございます。

> ですね. Φ(x + 1(y - x)) = Φ(y), Φ(x + 0(y - x)) = Φ(x)
> で, 後は微積分学の基本定理です.

なるほど。微積分の基本定理は「∫_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)」なので
F(1)=Φ(x + 1(y - x)),F(0)=Φ(x + 0(y - x))と見立てると
Φ(1)-Φ(0)=Φ(x + 1(y - x))-Φ(x + 0(y - x))
=∫_0^1 Φ(x + t(y - x))d/dt dtとなるのですね。

>> x))=Φ'(x + t(y - x))'という意味なのですね。
> どうも貴方は微分が分かっていないようなのですが,
> DΦ(x + t(y - x)) は Φ の x + t(y - x) における
> 微分です.

という事は x:=t^(x_1,x_2,…,x_d),y:=t^(y_1,y_2,…,y_d) (但し,tは転置を表す)
とおくと,
DΦ(x + t(y - x))=
∂Φ(x_1+t(y_1-x_1))/∂x_1,∂Φ(x_2+t(y_2-x_2))/∂x_1,…,∂Φ(x_d+t(y_d-x_d)/
∂x_1
∂Φ(x_1+t(y_1-x_1))/∂x_2,∂Φ(x_2+t(y_2-x_2))/∂x_2,…,∂Φ(x_d+t(y_d-x_d)/
∂x_2
：
∂Φ(x_1+t(y_1-x_1))/∂x_d,∂Φ(x_2+t(y_2-x_2))/∂x_d,…,∂Φ(x_d+t(y_d-x_d)/
∂x_d
というd×d行列ですよね。

>>> ですが, M = max_{x,y ∈ E, t ∈ [0, 1]} |DΦ(x + t(y - x))|
>> これは今,Eは有界閉領域なので最大値が採れるのですね。
> E の凸閉での最大値になります.

凸閉とは凹んだ部分が無い閉領域ですよね。

> その意味では
> 単に有界閉領域というだけではなく, 閉円板で
> 考えておく方が良いでしょう. 証明としては,
> 閉円板に含まれる測度零の集合の像が測度零で
> あることが言えれば, 任意の測度零の集合の像が
> 測度零であることは, 分けて考えて証明できるので,
> 十分です.

ただの有界閉領域で考えてはダメなのでしょうか?
凹閉の場合とはどうなるのでしょうか?

(a)ではE=A∪Z (但しAはF_σ集合,Z⊂B,Bは測度0の集合)と表せる。
(i) B=φの場合,つまり,EがF_σ集合の場合,
(ii) B≠φで有界閉集合の場合,
(iii) B≠φで非有界閉集合の場合
と場合分けしましたよね。

それとBが有界開集合や非有界開集合の場合は考えなくていいのでしょうか?

>> f:(0,1)→(0,1)でfは測度の定義を満たし,
> 測度の定義? 狭義に単調増加な(従って位相同型な) f です.

「f:(0,1)→(0,1)でf(C)>0 (但し,CはCantor集合)なる位相同型写像fが存在するのですね」
と言いたかったのでした。

>>> 任意の可測集合は, F_σ 集合と零集合の和集合として書ける ことを用いるのです.
>> ええ〜!? Lebesuge可測集合EはE=A∪Z (但し,A∈B(R^n),Z⊂B∈B(R^n) (B(R^n)は
>> Borel集合体)でm(B)=0) という形に書ける(∵Legesgue集合体は完備化された集合体)
>>のは知っていますが, Borel集合Aはそう簡単に具体的に表せないのですよね
>> (∵Borel集合の複雑性)。
>>  Borel集合Aが単にF_σ集合として表せれるのはどうしてでしょうか?
>  <http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/reference_first.jpg>
> を読んでないのですね. Exercise 8 の前についている
> Corollary 3.5 にどう書いてあります?

これは失礼いたしました。
「differs from a F_σ by a set of measure zero」はE=A∪Z (但しAはF_σ集合,Zは測度0の集
合)という意味なのですね。
つまり,EがLebesgue可測ならE=A＼Z (但しAはG_δ集合,Zは測度0の集合)や
E=A∪Z (但しAはF_σ集合,Zは測度0の集合)と表せれるのですね。

>> 上記のようでいいんですよね。
> 自分で議論できないなら分かったとは言えません.

すいません。

>> ∫_0^1 DΦ(z_k)・(x-z_k) dt+∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))・(x-z_k)
>> dt から [DΦ(z_ki)(x-z_k)t]_0^1 dt+(∫_0^1
>> (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))dt)(x-z_k) がどうして言えるのでしょうか?
> DΦ(z_k)(x - z_k) は定ベクトルですから積分の外に出せます.

そうでしたね。∫_0^1 DΦ(z_k)・(x-z_k) dt= DΦ(z_k)・(x-z_k)∫_0^1 1 dtと書けますね。

> (DΦ(z_k + t(x - z_k)) - DΦ(z_k)) は
> t の関数を成分とする行列ですが,
> (x - z_k) は定ベクトルですから,

変数tに関してはxは定ベクトルと見做せるのですね。

> 行列を積分しておいて, 定ベクトルに掛ける形に変形できます.

有難うございます。納得です。

>> ∫_0^1 DΦ(z_k)・(x-z_k) dt+∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))・(x-z_k)
>> dt =∫_0^1 DΦ(z_k)・(x-z_k)+(∫_0^1
>> (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))dt)(x-z_k)
> 後の変形は良いですが, 前は dt が抜けています.

∫_0^1 DΦ(z_k)・(x-z_k)
↓
∫_0^1 DΦ(z_k)・(x-z_k)dt
でしたね。有難うございます。

>> =(x-z_k)∫_0^1 DΦ(z_k)+(∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))dt)(x-z_k)
> どうしてベクトルが行列の前に出てくるのですか.

=∫_0^1 DΦ(z_k)・(x-z_k)dt+(∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))dt)(x-z_k)
=∫_0^1 DΦ(z_k)dt(x-z_k)+(∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))dt)(x-z_k)
=(∫_0^1 DΦ(z_k)dt+(∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))dt))(x-z_k)
としないといけませんでしたね。
x-z_kは定数(スカラー)ではなく定ベクトルなので行列DΦ(z_k)、DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k)と交換可能とは限りませ
んね。

>> =(x-z_k)Φ(z_k)+(∫_0^1 (DΦ(z_k+t(x-z_k))-DΦ(z_k))dt)(x-z_k)
>> (∵DΦ(z_k)はtに関しての微分なので)
> DΦ(z_k) は Φ の z_k での微分です. t には関係しません.
> ましてや, t に関しての微分ではありません.

えっ? z_kでの微分なのですか?
z_kは定ベクトルですよね。定ベクトルでの微分とはどういう意味でしょうか?
「 (DΦ(z_k + t(x - z_k)) - DΦ(z_k)) は
 t の関数を成分とする行列ですが,
 (x - z_k) は定ベクトルですから」
と仰ってますよね。

>> となってしまうのではないかと思います。何か勘違いしてますでしょうか?
> 勘違いではなく, 何も分かっていらっしゃらないようです.
> 数式は形式的な変形で真理を導いているように見えるかも
> 知れませんが, 論理的に正しい手順を踏んだ変形でないと
> 意味がありません. 何が論理的に正しい手順を踏んだ変形
> であるかは, その表すところの内容を理解しないでは判断
> できません.

例えば、写像fがf(t(x,y))=t(x^2+y,2x-y^3,x+y)というR^2→R^3
なら(ここでのtは転置の意味) fの導関数Dfは
∂(x^2+y)/∂x　∂(x^2+y)/∂y
∂(2x-y^3)/∂x　∂(2x-y^3)/∂y
∂(x+y)/∂x　∂(x+y)/∂y
=
2x　1
2　-3y^2
1   1
という3×2行列になるのですよね。

>>>> f(a+h,b+k)=f(a,b)+Df(a,b)+1/2!D^2f(a,b)+…+1/(n-1)!D^{n-1}f(a,b)+R_n
>> ：
>> > 間違いです.
>> えっ。何処が間違ってますか?
> 象徴的に書くとしても,
> f(a+h, b+k) = f(a, b) + Df(a, b)(h, k) + 1/2!(D^2f)(a,b)((h,k), (h,k))
> + …
>               + 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b)((h,k), ... , (h,k)) + R_n
> と多重線形形式 D^kf に (h, k) というベクトルを k 個代入する
> ところは外せません. 3次元以上でも同様.

大変有難うございます。
D^{n-1}f)(a,b)((h,k), ... , (h,k))で
D^{n-1}f)(a,b)は(a,b)でのfのn-1階全微分に(a,b)を代入したものですよね。
よって(h,k), ... , (h,k)))は2行k列の行列の意味でしょうか?
剰余項R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk) (但し,0<θ<1)なるのですね。
3次では
f(a+h,b+k,c+j) = f(a,b,c)+Df(a,b,c)(h,k,j) + 1/2!(D^2f)(a,b,c)
((h,k,j), (h,k,j))+
 …
+ 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b,c)((h,k,j), ... , (h,k,j)) + R_n
((h,k,j), ... , (h,k,j))は3行j列の行列で
剰余項R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk,c+jθ) (但し,0<θ<1)となるのですね。

>> これはどういう意味でしょうか?
> bijection Φ が C^1 級であれば, m(Φ(E)) = ∫_E |det Φ'(x)| dx
> は成立します.

bijection Φ が C^1 級であれば, m(Φ(E))=∫_E |det Φ'(x)| dxが成立は当然と仰っているのでしょうか?
なので証明は要らないと仰ってるのでしょうか?

>>>> そうでした。{h→0}|f(x+h)-f(x)-g(x)|/h=0なる
>>> ここでも h が一つ抜けていますね. lim_{|h|→0} |f(x+h) - f(x) -
>>> g(x)h|/|h| = 0 です.
>> 有難うございます。再度確認してみましたがg(x)hでなくg(x)となっていますが。。
>>  (但しh∈R^m)
> 何処にそんなことが書いてありますか.

「位相数学入門」中岡稔著
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/differntial_20090507.jpg
にこのように載っているのですが私の読み方が甘いのかもしれません。

> f が R^m 上の R^n 値関数であれば,
> f(x + h) - f(x) は R^n のベクトルで,
> g(x) は f の x での微分ですから, R^m から R^n への
> 線形写像です. h が入らないと意味がありません.

lim_{|h|→0}|f(x+h)-f(x)-g(x)h|/|h|=0 (但し,| |はノルム) の時,Df:=gが微分の定義なのですね。

>>> だって, Riemann 和の極限は存在して Riemann 積分に なるのですから.
>>> 気持ちが悪ければ, Lebesgue 積分論で 示せば良い.
>>> 各 ε ごとに, diam Q_k < ε となる分割
>>> と Q_k の中心 z_k を用いて, f_ε(x) =Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|
>>> χ_{Q_k}(x) とし, f_ε(x) → |det(Φ'(x))| となることを示せば,
>> なるほど。ε→0ならx→z_kなのでこれから,どのようにして
>> lim_{ε→0}f_ε(x)=lim_{ε→0}Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)から
>> |det(Φ'(x))|になるのでしょうか?
> E は有界集合なので, その閉包上では一様連続です.

これは「R^d上でf_n→fでR^d⊃E上(但し,Eは有界)でf_n→f:連続ならばf_n→fはCl(E)上で一様連続(但し,Cl(E)はEの
閉包)」という命題があるのでしょうか?

> |x - z_k| が十分に小さければ ||det(Φ'(x))| - |det(Φ'(z_k))|| も
> 十分に小さくなります.

lim_{ε→0}Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)=lim_{x→z_k}Σ_{k=1}^∞
|det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)でこの時,
∃k_0∈N; x→z_{k_0} (as ε→0)なのですね。その時,k_0以外のkではx→z_{k_0}になるに連れて,χ_{Q_k}
(x)→0になっていくので
(∵k_0以外ではxはz_kから離れて,Q_kが飛び出てしまう)
lim_{x→z_k}Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)=|det(Φ'(z_{k_0})|になるかと思う
のですが…。
どうしてlim_{x→z_k}Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| χ_{Q_k}(x)=|det(Φ'(x)|なのでしょうか?

>>> 有界収束定理が使えます.
>> まず,BCTを使うには,R^dのLegesgue測度mが
>>有限m(R^d)<∞でなければなりませんよね。
> E 上での積分の話ですから, m(E) < ∞ で良い.

そうでした。今,Eは有界でしたね。

>> これは言えるのでしょうか?
> m(R^d) = ∞ なのだから, R^d では駄目なことは明らかですから,
> そこで自分の見落としに気付いていただきたいものです.

ごもっともです。

>> そして,0<∀ε∈Rに対して, |Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|
>> χ_{Q_k}(x)|<∃K∈R…②.で Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|
>> χ_{Q_k}(x)∈L^1…③なら
> E が有界集合で, |det(Φ'(x))| は連続関数ですから,

 これはそうですね。

> その閉包上では有界です.

でもその無限和Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|はどうして有界と分かるのでしょうか?
Eが有界開集合で|det(Φ'(x))|は連続関数なら,|det(Φ'(x))|はE上で有界ですよね。

すいません。ここでどうして,閉包の議論が出てくるのでしょうか?

>> ところで、③,②はどうすれば言えますでしょうか?
> 明らかですね.

ええっ?無限和Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|の各項だけしか有限と分かっていないのですが。
③は②とm(E)<∞から言えますね。

>> 今,Σ_{k=1}^∞m(Φ(Q_k)=Σ_{k=1}^∞|det(Φ'(z_k)|m(Q_k)+o(ε)
>> =lim_{ε→0}(Σ_{k=1}^∞|det(Φ'(z_k)|m(Q_k)+ε)であったので
> まあ, それが問題ですが,

これは難しいんでしたよね。

>> ④からΣ_{k=1}^∞m(Φ(Q_k)=∫_E|det(Φ'(x))|dmと言え、
> その部分を議論したわけですね.

はい。

>> ∫_E|det(Φ'(x))|dm=Σ_{k=1}^∞m(Φ(Q_k) =m(∪_{k=1}^∞Φ(Q_k)) (∵各内核は互いに素で,
>>　各共通部分(境界)の測度は0より可算加法性) =m(Φ(∪_{k=1}^∞Q_k) (∵Φは全単射) =m(Φ(E))
>> となったのですがこれでもいいでしょうか?
> どうせ,
>  Σ_{k=1}^∞ m(Φ(Q_k)) = Σ_{k=1}^∞|det(Φ'(z_k))|m(Q_k) + o(1)
> は簡単には示せませんから, 議論しても無駄ではあります.

そうでしたか。

> 一応, Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| m(Q_k) → ∫_E |det(Φ'(x))| dx
> となることは, 良く使われることですから,
> 説明を加えたまでです.

Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| m(Q_k) → ∫_E |det(Φ'(x))| dx (as ε→0)は覚えておきたいと
思います。

>> ところで,前記事で 「 E を有界な可測集合としましょう. E ⊂ F で m(F＼E) =
>> 0 であれば, ： m(Φ(E)) = m(Φ(F)) = ∫_E |det Φ'(x)| dx です.」 を議論なさってますが何故なのでしょうか?
> 有界開集合だけでなく, 有界な可測集合でも成立することが
> 次の段階でしょう.

そうですね。

>> 上記のE=∪_{k=1}^∞ Q_k (但し,Q_kの内核は互いに素な立方体)で
>> m(Φ(E))=∫_E|det(Φ'(x))|dmが示せたので 十分かと思いましたが。
> Hint においては, 先ず, E が有界開集合というのを
> 仮定して, 書かれています. それだけでは十分ではありません.

なるほど。

>> Eが非有界の場合はどのようにEをどのように分割すればいいでしょうか?
> 有界な可測集合の場合に証明しておけば,
> 非有界な可測集合 E に対しては, O の有界閉集合による
> 近似列を作っておいて, それから導かれる分割を使えば宜しい.

分かりました。EがLebesgue可測ならF_n↑Eなる有界閉集合列が採れる(∵某命題)。
この時,F_n＼F_{n+1}は互いに素でLebesgue可測集合なので既に証明済みな
「有界可測集合Eに対して,∫_E|det(Φ'(x))|dm=m(E)」が使えて,
∫_E|det(Φ'(x)))|dm=∫_{∪_{n=1}^∞F_n＼F_{n+1}}|det(Φ'(x))|dm
=Σ_{n=1}^∞∫_{F_n＼F_{n+1}}|det(Φ'(x))|dm(∵Lebesgue積分の性質)
=Σ_{n=1}^∞m({F_n＼F_{n+1})
(∵F_n＼F_{n+1}は有界Lebesgue可測なので既に証明済みの事「Eが有界可測ならm(E)=∫_E |det(Φ'(x))|dm」が
使える)
=m(∪_{n=1}^∞F_n＼F_{n+1)(∵可算加法性)
=m(E)
となるのですね。

>>> E は可測集合と言うだけです.
>> Eがただ非有界集合だけだとLegesgue可測かどうかわかませんよね。

EはLebesgue可測と仮定されてましたね。愚問でした。

>> どのようにしてEがLegesgue可測と言えますでしょうか?
> 話が食い違っていますが, 任意の O の可測部分集合 E について,
>  m(Φ(E)) = ∫_E |det(Φ'(x))| dx
> が成立することを示すのが, (b) の目標で, その為に,
> 先ず, E が有界開集合の場合に成立することを示し,
> 次いで, E が有界な可測集合の場合に成立することを
> 示し, 最後に任意の可測集合で成立することを示せば
> 良い, と申し上げたわけです. なお, ここでは O の
> 部分集合を考えていますから, 「有界」というのは
> 閉包が O に含まれることも合わせて考えた方が良い.

すいません。ここでもどうして閉包を気にせねばならないのでしょうか?

> そこで,
> * 非有界閉集合Eを互いに素な有界閉集合の和∪_{i=1}^∞E_iとして表される事を
> と, E が「閉集合」であるかのような記述をされたので,

すいません。証明が手順がいまいち飲み込めずにおりました。

> 最終的な目標の E は「可測集合と言うだけです」と
> 申し上げました.

上記の
「EがLebesgue可測ならF_n↑Eなる有界閉集合列が採れる(∵某命題)。

：
=m(∪_{n=1}^∞F_n＼F_{n+1)(∵可算加法性)
=m(E)」
のようにすればいいのですね。

> で, どこから「ただ非有界集合」というのが出て来たのでしょうか.

これもすいません。EはLebesgue可測を仮定にしての議論でしたね。
ただではなく,Lebesgue可測な非有界集合と言わねばなりませんでしたね。

>> 「E⊃Fの時,∫_F g(x)dx=∫_E χ_Fg(x)dx」が成り立つのでしょうか
> 自明ですね.

すいません。これはボケておりました。特性関数の定義から明らかでしたね。

>> fのcanonical formはf=Σ_{i=1}^m a_i χ_{O'_i}でしたが fΦのcanonical formが
>> どうしてΣ_{i=1}^m a_i χ_{O_i}になるのでしょうか?
>  (f○Φ)(x)
>  = f(Φ(x))
>  = Σ_{i=1}^m a_i χ_{O'_i}(Φ(x))
>  = Σ_{i=1}^m a_i χ_{O_i}(x)
> となることは Φ(x) ∈ O'_i ⇔ x ∈ Φ^{-1}(O'_i) = O_i から
> 明らかです.

有難うございます。納得です。