工繊大の塚本です.

In article <09258187-2e68-4620-9077-927e7a0872a3@z16g2000prd.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> d(Φ(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)))/dt
> =Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂ψ_i)(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)) (dψ_i/dt)(t)
> なら
> 「dz/dt=∂z/∂udu/dt+∂z/∂vdv/dt」と合致しますが
> このように書いてはダメなのでしょうか?

 Φ の変数は x_1, x_2, ... , x_d であるとしていて,
それに x_i = ψ_i(t)  (i = 1, 2, ... , d) を代入している
ので, (∂Φ/∂x_i) とするのが正しく,

  d(Φ(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)))/dt
  = Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)) (dψ_i/dt)(t)

となります. 「dz/dt=∂z/∂udu/dt+∂z/∂vdv/dt」もきちんと書けば,
 u = u(t), v = v(t) を代入して, z = z(u(t), v(t)) を t の関数と
考えての z の微分を計算しているので,

  d(z(u(t), v(t)))/dt
  = (∂z/∂u)(u(t), v(t)) (du/dt)(t) + (∂z/∂v)(u(t), v(t)) (dv/dt)(t)

という式になります. dz/dt = ∂z/∂u du/dt + ∂z/∂v dv/dt
は, どの点での値を考えるかを了解した上での, 省略形です.

> のようにd×d行列と1×d行列(ベクトル)に分解できるのですね。

ベクトルは d×1 行列です. d×d 行列と d×1 行列でないと
積が定義できません.

> DΦはtを変数とするの行列の形の導関数だったのですね。

 DΦ は x_1, x_2, ... , x_d を変数とする関数を成分とする
行列の形で導関数を表したものです.
変数 x_i に, 定ベクトルの成分 x_i, y_i から定まる
 t の関数 x_i + t(y_i - x_i) をそれぞれ代入して,
 (DΦ)(x + t(y - x)) を考えると, t を変数とする
関数を成分とする行列になります.

# x_i には, 変数を表すものと, 定数を表すものとが
# あることに御注意下さい.
# 定数といっても, 後で, x, y ∈ R^d は領域の中を
# 動くことになるのですが.

> このDΦがJacobianと呼ばれる行列だったのですね。

多くの場合, det(DΦ) を Jacobian と呼びます.
 DΦ は Jacobian matrix と呼んで, 区別します.

> 成分表示すると(DΦ)(x + t(y - x))=(∂Φ_i/∂x_j(x+t(y-x)))という形の
> d×d行列なのですね。

段組がないときには, (DΦ)(x + t(y - x)) = (∂Φ_i/∂x_j)(x + t(y - x))
とする方が紛れないでしょう.
 
> うーんと,つまり,元々はd変数だが1変数に見做すという事は
> 
> (∂Φ_1(x_1+t(y_1-x_1)/∂x_1,(∂Φ_1(x_2+t(y_2-x_2)/∂x_2,
>  …,(∂Φ_1(x_d+t(y_d-x_d))/∂x_d)

だから, こういう意味のない記述をしてはいけません.
 ∂Φ_1/∂x_j は Φ_1 の偏導関数であり,
変数 x_1, x_2, ... , x_d の関数です.
各変数 x_i に, 定ベクトルの成分 x_i, y_i から定まる
 t の関数 x_i + t(y_i - x_i) を代入するのです. 

  (∂Φ_1/∂x_j)(x_1+t(y_1-x_1), x_2+t(y_2-x_2), ... , x_d+t(y_d-x_d))

と書くのが大変なので, 変数のところはまとめて

  (∂Φ_1/∂x_j)(x + t(y - x))

とします. 上は正しくは,

  ( (∂Φ_1/∂x_1)(x + t(y - x)), (∂Φ_1/∂x_2)(x + t(y - x)),
     ... , (∂Φ_1/∂x_d)(x + t(y - x)) )

とするところです. 以下同様.

> での∂Φ_i(x_j+t(y_j-x_j)/∂x_jはtを変数とする
> x_1+t(y_1-x_1)の導関数と見做すのでしょうか?

それは大きな間違いです.

> そうするとΦ(x + t(y - x))を1変数と見做せるのでしょうか?

それは初めからそうですね.

> |Φ'(x + t(y - x))|は|Φ(x) - Φ(y)|/|x-y|の事ですよね。

違います.  |Φ'(x + t(y - x))| = |DΦ(x + t(y - x)|
は行列 DΦ(x + t(y - x)) のノルムです.
行列 A のノルム |A| とは, 任意のベクトル x について,
 |A x| ≦ |A| |x| が成立するような, 最小の数です.

> E⊂OなのにEの形が変だと,|Φ'(x + t(y - x))|がΦの定義域Oから外れる
> とはどういう事なんでしょうか?
> Φの値域から外れるのではなく,定義域から外れるのですね。

 O が R^d から原点を除いた開集合だとすると,
 E が点 A と A の原点に対する対称点 B とを含むとき,
直ぐにそういうことは起きます.

> ご紹介頂いた式
> 「2変数のTaylor展開は
> f(a+h, b+k) = f(a, b) + Df(a, b)(h, k) + 1/2!(D^2f)(a,b)((h,k), (h,k))
> + …
>        + 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b)((h,k), ... , (h,k)) + R_n
> (但し,(h,k), ... , (h,k))は2×(n-1)行列)」
> に合致させる為には
> D:=∂/∂x+∂/∂y
> でなければなりませんでしたね。

 D = ∂/∂x + ∂/∂y ではありません.
 ∂/∂x + ∂/∂y は実数値関数に実数値関数を対応させる
微分作用素ですから.
 R^2 から R への線形写像の全体 Hom(R^2, R) は
 R^2 と同一視できますから,
実数値関数 f に対して, Df は R^2-値関数です.
一般に D^k f は Hom((×)^k R^2, R)-値関数です.

> そして剰余項R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk)((h,k),(h,k),…,(h,k))
> (但し,0<θ<1, ((h,k),(h,k),…,(h,k))は2×n行列)なるのですね。

 f を実数値関数とすればそうなります.

> w=f(u(t),v(t),z(t))の時,zのtによる導関数は
                          w
> dw/dt=∂w/∂u du/dt+∂w/∂v dv/dt+∂w/∂z dz/dt
> でしたね。

まあ, そうです.

> D:=∂/∂x+∂/∂y+∂/∂zとすると

これは駄目です. R^3 の標準基底を e_1, e_2, e_3 として,
 D = (∂/∂x) e_1 + (∂/∂y) e_2 + (∂/∂z) e_3 
とするなら間違いではない.

> d(a+ht)/dt=h,d(b+kt)/dt=k,d(c+jt)/dt=jなので
> F'(t)=dF(t)/dt=df(a+ht,b+kt,c+jt)/dt
> =(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂x)d(a+ht)/dt+(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂y)d(b+kt)/dt+
> (∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂z))d(c+jt)/dt
> =(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂x)h+(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂y)k
>  +(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂z)j)

この二つは正しい表記ではありません.

  = (∂f/∂x)(a+ht, b+kt, c+jt) h + (∂f/∂y)(a+ht, b+kt, c+jt) k
    + (∂f/∂z)(a+ht, b+kt, c+jt) j

とするものです.

> =(Df)(a+ht,b+kt,c+jt)・t^(h,k,j) (但し,t^は転置の意味)

これは良いのですが,

> =
> (∂(a+ht)/∂x,∂(a+ht)/∂y,∂(a+ht)/∂z)
> (∂(b+kt)/∂x,∂(b+kt)/∂y,∂(b+kt)/∂z)
> (∂(c+jt)/∂x,∂(c+jt)/∂y,∂(c+jt)/∂z)
> ・
> t^(h,k,j)

これは全く無意味な式です.

> 
> なのでこの
> (∂(a+ht)/∂x,∂(a+ht)/∂y,∂(a+ht)/∂z)
> (∂(b+kt)/∂x,∂(b+kt)/∂y,∂(b+kt)/∂z)
> (∂(c+jt)/∂x,∂(c+jt)/∂y,∂(c+jt)/∂z)
> という行列が(Df)(a+ht,b+kt,c+jt)の事なのですね。

違います. 何も分かっていませんね.

> F''(t)=d^2F(t)/dt^2=d^2f(a+ht,b+kt,c+jt)/dt^2
> =d/dt・df(a+ht,b+kt,c+jt)/dt
> =d/dt(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂x)h+(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂y)k+(∂f(a+ht,b+kt,c
> +jt)/∂z)j
> (∵F'(t)での内容)

これは

  = (d/dt)((∂f/∂x)(a+ht, b+kt, c+jt) h + (∂f/∂y)(a+ht, b+kt, c+jt) k
           + (∂f/∂z)(a+ht, b+kt, c+jt) j)

とするわけですが,

> =∂^2f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂x^2)h^2+(∂^2f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂y^2)k^2+(∂^2f(a
> +ht,b+kt,c+jt)/∂z^2)j^2
> (∵dw/dt=∂w/∂u du/dt+∂w/∂v dv/dt+∂w/∂z dz/dtより)

これは駄目です. 例えば,

  (d/dt)((∂f/∂x)(a+ht, b+kt, c+jt))
  = (∂(∂f/∂x)/∂x)(a+ht, b+kt, c+jt) d(a+ht)/dt
    + (∂(∂f/∂x)/∂y)(a+ht, b+kt, c+jt) d(b+kt)/dt
    + (∂(∂f/∂x)/∂z)(a+ht, b+kt, c+jt) d(c+jt)/dt
  = (∂^2 f/∂x^2)(a+ht, b+kt, c+jt) h
    + (∂^2 f/∂y∂x)(a+ht, b+kt, c+jt) k
    + (∂^2 f/∂z∂x)(a+ht, b+kt, c+jt) j

等となるので,

  F''(t)
  = (∂^2 f/∂x^2)(a+ht, b+kt, c+jt) h^2
    + (∂^2 f/∂y∂x)(a+ht, b+kt, c+jt) k h
    + (∂^2 f/∂z∂x)(a+ht, b+kt, c+jt) j h
    + (∂^2 f/∂x∂y)(a+ht, b+kt, c+jt) h k
    + (∂^2 f/∂y^2)(a+ht, b+kt, c+jt) k^2
    + (∂^2 f/∂z∂y)(a+ht, b+kt, c+jt) j k
    + (∂^2 f/∂x∂z)(a+ht, b+kt, c+jt) h j
    + (∂^2 f/∂y∂z)(a+ht, b+kt, c+jt) k j
    + (∂^2 f/∂z^2)(a+ht, b+kt, c+jt) j^2

となります.

> となってしまい,この3×3行列が(D^2f)(a+ht,b+kt,c+jt)になるのかと思いますが

だから違います.

> D^2=(∂/∂x+∂/∂y+∂/∂z)^2
> =∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2+2∂^2/(∂x∂y)+2∂^2/(∂y∂z)+2∂^2/(∂x∂z)
> にもなってませんし,

これは D の定義が拙い.

> t^(h^2,k^2,j^2)が3×2行列((h,k,j),(h,k,j))にもなりません。
> 何処が間違っているのでしょうか?

合成関数の高階の偏微分の計算です.

> 「F(1)=f(a+h,b+k)、F^(n)(θ)=D^nf(a+θh,b+θk)((h,k),(h,k),…,(h,k))を
> 代入すると,
> f(a+h, b+k) = f(a, b) + Df(a, b)(h, k) + 1/2!(D^2f)(a,b)((h,k),(h,k))
> +
> …+ 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b)((h,k), ... , (h,k)) + R_n
> R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk)((h,k),(h,k),…,(h,k))
> (但し,((h,k),(h,k),…,(h,k))は2×n行列)」
> と書くべきだったのですね。

まあ, そうです.
 
> D:=h∂/∂x+k∂/∂yとするかD:=∂/∂x+∂/∂yとするかに
> 統一しないといけないのですね。

後者は駄目です.

> 前者なら
> f(a+h, b+k)=f(a, b)+Df(a, b)+1/2!(D^2f)(a,b)+ …+
> 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b)+R_n,
> R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk)

このとき, D^k f が f の偏導関数を用いてどう表されるか,
を知っていないと, ものの役に立ちません.

> 後者なら
> f(a+h, b+k)=f(a, b)+Df(a, b)(h,k)+1/2!(D^2f)(a,b)((h,k),(h,k))+ …+
> 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b)((h,k),(h,k),…,(h,k))+R_n,
> R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk)((h,k),(h,k),…,(h,k))
> (但し,((h,k),(h,k),…,(h,k))は2×n行列)
> ですね。

このとき, D^k f とはどのようなもので, f の偏導関数との
関係がどうなっているか, を知っていないと, ものの役に立ちません.

以下同様に間違っていますから, 正しくはどうなるか,
もう一度勉強し直して下さい.

> 「多変数のTaylor展開とは
> Φ(x_1+h_1,x_2+h_2,…,x_d+h_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)
> (h_1,h_2,…,h_d)+1/2!
>  D^2Φ(x_1,x_2,…,x_d)((h_1,h_2,…,h_d),(h_1,h_2,…,h_d))+…
> +1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x_1,x_2,…,x_d)((h_1,h_2,…,h_d),(h_1,h_2,…,h_d),…,
> (h_1,h_2,…,h_d))+o(ε)
>  (但し,D:=∂Φ/∂x_1+∂Φ/∂x_2+…+∂Φ/∂x_d)ですね。 」
> 
> とするべきだったのですね。

駄目です.

> 「Φ(x-z_k)=Φ(x)+DΦ(x)(z_k)+1/2!D^2Φ(x)(z_k,z_k)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x)
> (z_k,z_k,…,z_k)+o(ε)
> (但し,(z_k,z_k,…,z_k)はd×(n-1)行列) となるのですね。」
> 
> とすべきだったのですね。

駄目です.

> o(ε)=1/1!DΦ(z_k-εx)(z_k)　(0<ε<1))
> (但し,z_kはd×1行列)
>  とすべきでしたね。

駄目です.

> ここも
> 「f(a+h,b+k)=f(a,b)+Df(a,b)(h,k)+1/2!D^2f(a,b)((h,k),(h,k))+…+1/(n-1)!D^
> {n-1}f(a,b)((h,k),(h,k),…,(h,k))+R_n
> (但し,D:=∂/∂x+∂/∂y,R_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk)((h,k),(h,k),…,(h,k))
> (0<θ<1)) 」
> でしたね。

駄目です.

> そうでした。統一して書くなら
> 「f(x,y)=f(a,b)+Df(a,b)(x-a,y-b)+1/2!D^2f(a,b)((x-a,y-b),(x-a,y-b))+…
> +1/(n-1)!D^{n-1}f(a,b)((x-a,y-b),(x-a,y-b),…,(x-a,y-b))+R_n
> (但し,D:=(x-a)∂/∂x+(y-b)∂/∂y,R_n=1/n!D^nf(a+θ(x-a),b+θ(y-b))((x-a,y-b),
> (x-a,y-b),…,(x-a,y-b))」
> とするべきでしたね。

 D^k f が分かっていないと意味がありません.

> 「Φ(x_1+h_1,x_2+h_2,…,x_d+h_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)
> (h_1,h_2,…,h_d)+1/2!
> D^2Φ(x_1,x_2,…,x_d)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x_1,x_2,…,x_d)((h_1,h_2,…,h_d),
> (h_1,h_2,…,h_d),…,(h_1,h_2,…,h_d))+R_n
> (但し,D:=∂/∂x_1+∂/∂x_2+…+∂/∂x_d,
> R_n:=1/n!D^nf(x_1+θh_1,x_2+θh_2,…,x_d+θh_d)((h_1,h_2,…,h_d),(h_1,h_2,
> …,h_d),…,(h_1,h_2,…,h_d)) (0<θ<1)) 」
> でしたね。

駄目です.

> 「Φ(t_1,t_2,…,t_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)(t_1-x_1,t_2-x_2,
> …,t_d-x_d)
> +
> 1/2!D^2Φ(x_1,x_2, …,x_d)((t_1-x_1,t_2-x_2,…,t_d-x_d),(t_1-x_1,t_2-x_2,
> …,t_d-x_d))+…
> +1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x_1,x_2,…,x_d)((t_1-x_1,t_2-x_2,…,t_d-x_d),(t_1-
> x_1,t_2-x_2,…,t_d-x_d),…,(t_1-x_1,t_2-x_2,…,t_d-x_d))+R_n
> (但し,D:=∂/∂x_1+∂/∂x_2+…+∂/∂x_d,
> R_n:=1/n!D^nf(x_1+θ(x_1-h_1),x_2+θ(x_2-h_2),…,x_d+θ(x_d-h_d)((t_1-
> x_1,t_2-x_2,…,t_d-x_d),(t_1-x_1,t_2-x_2,…,t_d-x_d),…,(t_1-x_1,t_2-x_2,
> …,t_d-x_d)))  (0<θ<1)) ですよね。」
> 
> とすべきでした。

やはり駄目です.

> すいません。上記のk_0というのを誤解してました。
> εを決めると,|x - z_{k_0}| < ε なるQ_{k_0}が少なくと一つは採れるのですね。
> ただ一個だけかどうかはxの位置によりますね。
> xの場所によっては,|x - z_{k_0}| < ε且つ|x - z_{k_1}| < ε なる
> Q_{k_0},Q_{k_1}が採れる場合も
> ありますね。

 x ∈ Q_k となる k は唯一つに決まります.
その k = k_0 について |x - z_{k_0}| < ε となること
だけが肝要で, 他の k については χ_{Q_k}(x) = 0 なので,
考えても無駄です.

> すいません。ここでの議論の趣旨は何だったのか混乱しております。
> 
> つまり,Eの閉包cl(E)で一様連続という事は
> 今,Eは有界なのでx∈cl(E)に対し,
> 0<∀ε∈Rに対し,∃{Q_k};
> 0<∃δ∈R,∃k_0∈N such that
> ∀x∈{x∈Q_{k_0};|x-z_{k_0}|<δ},
>  |Σ_{k=1}^∞|detΦ'(z_k))|χ_{Q_{k_0}(x)-|det(Φ'(x))||<ε.
> 
> という事ですよね。

意味不明です.

> ここでのEは有界なのですよね。
> そしてΣ_{k=1}^∞|detΦ'(z_k))|χ_{Q_{k_0}(x)はE上で連続で

その関数は, 単関数ですから, まず不連続です.

連続だといっているのは |det(Φ'(x))| です.
それは有界集合 E の閉包上では一様連続です.
更に, そのことから, 任意の正数 δ に対して,
正数 ε を十分小さく取れば, その ε に対応する被覆について,
 |Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|χ_{Q_k}(x) - |det(Φ'(x))|| < δ
です. ここで x ∈ ∪_{k=1}^∞ Q_k です.

> 閉包cl(E)上でも連続だからΣ_{k=1}^∞|detΦ'(z_k))|χ_{Q_{k_0}(x)は有界。
> ここでどうして一様連続の話が出てくるのしょうか。
> Σ_{k=1}^∞|detΦ'(z_k))|χ_{Q_{k_0}(x)が一様連続でなければ
> どうなるのでしょうか?

ですから, 誤解されているようですが, なお不審な点がありますか.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp