工繊大の塚本です.

In article <khi3jp$2hk$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 以前に
> 「minX,minX〓{minX},minX〓{minX〓{minX}},…と自然数のように
> 並べる事が出来るので(∵Axiom of Choice),」
> と述べておりませんでしたがこれはAxiom of Choiceは全く関係ありませんでしたね
> (整列化する時には要りますが)。

 X が無限集合でも, X の元 x で x \cup { x } が X の元でない
ものがあることは当然ありうることですから, X は必ずしも帰納的集合
ではありません. X = \omega + 1 は帰納的集合ではないのです.

 X と帰納的集合との 1 対 1 対応は付けることができます.
 X の基数を取れば良い.

但し, 貴方の証明ではそう述べられていない.
無限集合 X に与えうる整列順序には色々なものがあります.
その順序型が極限順序数にならないような整列順序もあり,
そのような順序では, inductive set との対応にはなりません.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop10__00.jpg
> の証明は実数体の時にも,整列化して順番を付けれる事を言ってるので
> 実数体は可算集合となって実数の非可算性に矛盾するのですが
> 何処を勘違いしてますでしょうか?

点点点で X を取りつくすことができる思っているところでしょう.

> これは
> x={φ{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}},…,{φ,{φ,{φ,…,{φ,{φ}}…}},
> y={φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}},…,{φ,{φ,{φ,…,{φ,{φ}}…}}
> を帰納的集合のように表現するのかと思いましたが,
> それでもどう書けるか分かりませんでした。 

何を表したいのか, こちらとしても理解できませんから,
もう止めたら, という忠告が妥当であるかと思います.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp