ご回答誠に有難うございます。

>>> 無限公理はどのように与えましたか.
>> 「{A;∀x,¬(x∈A)}を含み,且つ元xを含むなら,
>> {y;∃C∈{x,{x}}} such that y∈C}も含むような集合が存在する」
>> でございます。
> 貴方の記号の使い方は間違っていて, communication が困難です.
> \forall x, \lnot(x \in A) となる A が「空集合」ですが,
> { A ; \forall x, \lnot(x \in A) } とすると, それは
> そのような A 全てを集めた集合, を通常意味します.
> そういう意味ですか.

誠に申し訳ありません。
for∀x,¬(x∈A) なる A
の事(Aは空集合)です。
{A;for∀x, ¬(x∈A)}はφを元として持つので{A;for∀x, ¬(x∈A)}は空集合を表してませんでした。

> 後半も, x がその集合に含まれていれば, x \cup {x} も
> その集合に含まれている, ということを意味する文章には
> なっていません.
> ということで, 貴方の考える「無限公理」は分かりません.

大変失礼いたしました。
もとい,無限の公理は帰納的集合存在の公理と呼んだほうが分かりやすいかもしれません。
「数学とロジックと集合論(田中一之著),p72」より
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_recursive_set__01.jpg

つまり,帰納的集合存在の公理とは
「Aはφを含み,∀x∈Aならxと{x}との合併集合もAの元となる.
ような集合Aが存在する。そしてこの集合Aを帰納的集合と呼ぶ」
でございます。

>>> 定義 9.776 はどのような主張であるか, 読み取れません.
>> 「集合A(≠φ)が存在すれば{x∈A;{x}⊂A⇒{x∪{x}}⊂A}も集合となり,
>> {x∈A;{x}⊂A⇒{x∪{x}}⊂A}は無限集合の定義9.774を満たす」
>> という主張でございます。
> 空集合でない「集合 A が存在すれば」というのは
> 「主張」における仮定ですか. そうすると,
> どんな空でない集合 A をもってきても
> { x \in A l 何とかかんとか } というものは無限集合になる
> という主張になりますが,
> { x \in A l 何とかかんとか } というものは A の部分集合
> ですから, A が { 空集合 } といった有限集合なら
> ウソになりますね.

そうでした。大変失礼いたしました。

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_recursive_set__00.jpg
という風に無限集合を定義(Map(A,A')∋∃f:全単射;(A'⊂A且つA'≠A))しました。
そして帰納的集合存在の公理で述べた集合
「Aはφを含み,∀x∈Aならxと{x}との合併集合もAの元となる.
ような集合Aが存在する」
は無限集合の定義(Map(A,A')∋∃f:全単射;(A'⊂A且つA'≠A))を満たす事も示し,
この定義が無矛盾(ちゃんと無限集合の定義を満たす集合が存在する)である事を証明しました。

> 一方, どう見ても, 「これこれの性質をもった」集合 A が
> 存在するという「主張」にも読めません.
> 意味不明というしかありません.

誠に申し訳ありません。
それでもっと
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__01.jpg
と自然集合系を定義致しました。

>>>  (\empty \in A) \land (\forall x (x \in A \to x \cup {x} \in A))
>>> を満たす集合 A の存在を公理で認めた上で,
>>> その A が定義 9.774 でいう無限集合になることを主張するのであれば,
>>> それは「定義」ではなく「定理」です.
> ま, 一応, "guess" はしておいたのですが,

そうですね。

>> そうでした。
> という割には, 訂正が入りませんね.

申し訳ありません。

>>> 貴方の勝手に作った話にはどこにも保証はないでしょう.
>> えっ? ∩_{X∈I}Xが自然数全体の集合になるのではないんでしょうか?
> 貴方が御自身で始めた話なのですから,
> 御自身で責任を取って完結させるか,
> 諦めて, きちんと何かの参考書を読むか
> のどちらかです.
> 言葉使いも含めて, きちんと何かの参考書を参照して
> 議論されることをお勧めしておきます.

誠に誠に申し訳ありません。上記の自然数系の定義でも大丈夫でしょうか?