工繊大の塚本と申します.

In article <k0h8bh$pae$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> ZFC公理系のみから自然数の定義をずって試んでおりましたが混乱してしまいました。 
> 
> 外延性公理,,空集合の存在公理,,対の公理,,合併集合の公理,,
> 無限集合の公理,冪集合の公理,置換公理,正則性の公理,選択公理
> 
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_natural_number__00.jpg
> という風に順に定義してみたのですが

無限公理はどのように与えましたか.
定義 9.776 はどのような主張であるか, 読み取れません.

  (\empty \in A) \land (\forall x (x \in A \to x \cup {x} \in A))

を満たす集合 A の存在を公理で認めた上で,
その A が定義 9.774 でいう無限集合になることを主張するのであれば,
それは「定義」ではなく「定理」です.
その証明は意味不明です.
更に, 定義 9.776 は「帰納的集合」を定義しているとの
ことですが, 「帰納的集合」も意味不明です.

> 定義9.79で共通部分を再帰的(帰納的)に定義したつもりでしたが,
> Bを「;」の前後に使っている為に分出公理
> (任意の集合aに対して集合b存在する such that (x∈b⇔(x∈a∧P(x)))
> (但し,P(x)は変数xについての条件)に抵触しないものか心配しております。
> つまり,{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}は集合に為しているのかです。

駄目でしょう.

 C に属する全ての集合の共通部分 \cap C を定義するのは
通常, \cap C = { x \in \cup C ; \forall y (y \in C \to x \in y) }
とします. \cup C が集合になることは和集合の公理から保証されます.

> 実際には,今, b:={x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}, a:=B, P(x):=B∈C∧(∀A∈C,x∈A) 
> と見做すのだと思います。
>  x∈{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}を採ると,x∈Bは直ぐに分かりますが
> B∈C∧(∀A∈C,x∈A)はxについての条件を為しているかは判定不能なので
> (∵少なくともB∈Cという条件は全くxとは無縁),
> 従って,{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}は集合を為してませんよね。
> この場合,どのようにして∩_{A∈C}A∩Aを定義すればいいのでしょうか?

 \cap C というのと貴方のその複雑な記号列とは同じですか.

> そして,∩_{X∈I}Xを自然数の定義とするのですが
> (これならペアノの公理は不要ですよね),

それを自然数とすれば, Peano の公理を満たす筈ですね.

> ここでIは色んな帰納的集合の集合ですよね。
> ∩_{X∈I}Xが空集合とはならないという保証は何処から来るのでしょうか?

貴方の勝手に作った話にはどこにも保証はないでしょう.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp