ご回答誠に有難うございます。

>> もとい,無限の公理は帰納的集合存在の公理と呼んだほうが
>> 分かりやすいかもしれません。
>> 「数学とロジックと集合論(田中一之著),p72」より
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_recursive_set__01.jpg
>> つまり,帰納的集合存在の公理とは
>> 「Aはφを含み,∀x∈Aならxと{x}との合併集合もAの元となる.
>> ような集合Aが存在する。そしてこの集合Aを帰納的集合と呼ぶ」
>> でございます。
> それが普通の「無限の公理」ですが, 貴方の記述が
> そう読めないものであったから, 確認しました.

そうだったのですか。誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_recursive_set__00.jpg
>> という風に無限集合を定義(Map(A,A')∋∃f:全単射;(A'⊂A且つA'≠A))しました。 
>> 
> ある集合が無限集合であるということをそう定義するのは良いですが,
> その定義は普通, デデキント無限 (Dedekind-infinite) と呼ばれる
> 概念の定義です.

了解です。

> 貴方が御持ちの
> 田中一之・鈴木登志雄共著「数学のロジックと集合論」培風館
> でいえば, p. 133 に説明があります. それと通常の無限集合の定義
> 「どの自然数の濃度とも異なる濃度を持つ集合」との関係,
> 「選択公理」との関係, もそこに説明があります.

ZF公理系からはこのDdekindの無限集合を定義する事は不可能なのですよね。

>> そして帰納的集合存在の公理で述べた集合
>> 「Aはφを含み,∀x∈Aならxと{x}との合併集合もAの元となる.
>> ような集合Aが存在する」
：
> そこで構成している f は明らかに全射ではありませんから,
> 困ってしまいます.
> f(x) = x \cup { x } とするとき, f(x) = \emptyset となる
> x は何ですか.

これは大変失礼いたしました(汗)。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_infinite_set__00.jpg
が正しい証明でございます。

>> それでもっと
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__01.jpg
>> と自然集合系を定義致しました。
> 未だ, 帰納的集合が無限集合であることの証明が出来ていない以上,
> 「無限集合」という言葉を使わない方が良いでしょう.

上記の改証明でいいのですよね。

> 「数学のロジックと集合論」 p. 73 の自然数の定義では「帰納的集合」
> になっていますね. I では一つ帰納的集合 A を取って定義している
> ことが明確ではないですから, I_A として, N_A = \cap I_A とし,
> N_A が, 任意の帰納的集合に含まれる, 最小の帰納的集合であること
> を証明した後に,

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__03.jpg
としてみたのですが∃x∈∩_{X∈I_A}X＼Xとした後,どうすればいいのでしょうか?
それと, {X;X is a recursive set}は分出公理の形をしてないので{X;X is a 
recursive set}は集合とは言えないのではないでしょうか?

> それを ( 0 から始まる) 自然数の集合とするのが
> やはり良い.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__02.jpg
とPeano's axiomを満たす事も示せました。

>>> 貴方が御自身で始めた話なのですから,
>>> 御自身で責任を取って完結させるか,
>>> 諦めて, きちんと何かの参考書を読むか
>>> のどちらかです.
>>> 言葉使いも含めて, きちんと何かの参考書を参照して
>>> 議論されることをお勧めしておきます.
>> 誠に誠に申し訳ありません。上記の自然数系の定義でも大丈夫でしょうか?
> 折角, 教科書が手元にあるのですから, もう一度自分の書いたものが
> どこでそれと違っているか, ちゃんと確認しましょう.

どうやら∩_{X∈I_A}Xを自然数系として良さそうです。