Re: 合同式 x^2≡-1 (mod 5^k) の解を求めよ
工繊大の塚本です.
In article <e44f7677-e43b-431d-a6e7-f0683d5086b5@z19g2000yqb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol9.JPG
> \xE3^A\xA7
> ∃(2・x_k)^{-1}∈1mod5
> ではなく
> ∃(2・x_k)^{-1}∈{0,1,2,3,4}
> ですよね。
> 0≦(2・x_k)^{-1}<5の範囲に取れるのは何と答えればよろしいでしょうか?
又混乱しているようですね.
x_k = \ell_0 + 5 \ell_1 + 5^2 \ell_2 + \codts + 5^{k-1} \ell_{k-1}
において, \ell_0 = 2 としているので, 実は
x_k ≡ 2 (mod 5) なので, 2 x_k ≡ 4 ≡ -1 (mod 5) であり,
(2 x_k)^{-1} ≡ 4 ≡ -1 (mod 5) でもあります.
# 4 * 4 = 16 = 1 + 5 * 3.
従って, 実は - (2 x_k)^{-1} ≡ 1 (mod 5) です.
{ 0, 1, 2, 3, 4 } の中にとるべきは, \ell_k であって,
\ell_k ≡ - (2 x_k)^{-1} ((x_k)^2 + 1)/5^k (mod 5) でした.
modulo 5 での代表元が { 0, 1, 2, 3, 4 } の中に取れるのは
当たり前でしょう.
# 整数を 5 で割った余りが { 0, 1, 2, 3, 4 } のいずれかに
# なるのは宜しいでしょうか.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp
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