ご回答大変ありがとうございます。


>> F_c(u)=lim_{ε→0}L_c(f_{u,ε})=lim_{ε→0}f_{u,ε}(c) =1 (c≦uの時), 0
>> (c>uの時) と なりますね。 これならu≦vなら,u<c<vの時とかはF(u)=0,F(v)=1
>> なので単調増加になっています。 右連続であることは
> 関数が分かれば, 右連続は明らかでしょう.
> F_c から決まる測度 μ_c がどのようなものか,
> それから L_c が復元されるか, はお確かめになりましたか.

すいません。まだでした。
F_cが[a,b]で単調増加&normalizedなのでTheorem3.5から
Borel測度μ_c:[a,b]→[0,∞)が定義できて,もしx<yならμ_c((x,y])=F_c(y)-F_c(x)
=1 (c∈[x,y]の時),0(c∈[x,y]でない時)
そしてμ_c({a}):=F_c(a),μ_c({b}):=L_c(1)と定義する。
そしてこの時,∫_a^b fdμ_c=L_c(f)を示す。
L_c(f)=f(c).
一方,∫_a^b fμ_c=liim_{n→∞}∫_a^b f_ndμ_c(但し,{f_n}はfの定義関数列)
=liim_{n→∞}∫_a^b Σ_{i_n=1}^{m,n}α_{i,n}χ_{E_{i,n}}dμ_c
=liim_{n→∞} Σ_{i_n=1}^{m,n}α_{i,n}μ_c(E_{i,n})
=liim_{n→∞} α_{i,n} (但し,{i,n}∈{1,2,…,m_n),c∈E_{i,n})
=f(c)
で上手くいきました。

>> Theorem3.5ではもし,a<bならμ((a,b])=F(b)-F(a)とすると書いてありますので
>> 台が[a,b]に含まれる事は(-∞,a),(b,∞)はBorel集合で 台が[a,b] に含まれるというのだから
>> μ(-∞,a)=μ(b,∞)=0
> 台が [a, b] に含まれることを示すのに, それを
> 使うようなことを言うのは変でしょう.

そうでした。ボケておりました。

> 台が [a, b] に含まれることを示すには,
> μ((-∞, a)) = μ((b, ∞)) = 0 を
> 示せば良い, というつもりなら, 先ず後者を示す
> ものでしょう.
>> よってE ∩ [a, b] = φ なるBorel集合Eについては
>単調性からμ(E)=0. と示せるのですね。
> μ((-∞, a)) = μ((b, ∞)) = 0 を示してあれば,
> 単調性が使えます.

μ((-∞, a)) = μ((b, ∞)) = 0 はなかなか示せません。

F(u)=0  (-∞ < u < a),  lim_{ε→0}L(f_{u,ε}) (a≦u<b), F(b)   (b ≦ u < ∞)
で
 (a, b] 上の測度 μ_0 に対して, [a, b] 上の測度 μ を,ボレル集合 E ⊂ [a, b] に対して,
a ∈ E のときは μ(E) = F(a) + μ_0(E＼{a}),
 a ∈ E でなければ μ(E) = μ_0(E)
ですよね。
E ∩ [a, b] = φだとするとEは半開区間(x,y]で構成されているので(∵Borel集合の定義)
(x,y]⊂(-∞,a)ならμ((x,y])=F(y)-F(x)=0-0(∵Fの定義)=0.
(x,y]⊂(b,∞)ならμ((x,y])=F(b)-F(b)(∵Fの定義)=0.
そしてEは高々可算個の(x,y]で構成されているので
μ(E)=μ(∪_{i=1}^∞}(x_i,y_i])≦Σ_{i=1}^∞ μ((x_i,y_i])=Σ_{i=1}^∞ 0=0.
となりましたがこれでいいでしょうか?