工繊大の塚本です.

In article <5c5c8614-d141-4299-9c5f-c72bcdc7881a@c11g2000yqj.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> L(f)の像は具体的には分からずただ,positiveな線形汎なのですね。

意味不明です.

> では存在性B≠φを示してみます。
> 具体的にμ∈Bなるμを採ってやればいいのですよね。
> a ≦ u < b なる u と u + ε < b なる正数 ε について, f_{u,ε}を
> f_{u,ε}(x) = 1  (a ≦ x ≦ u),
> f_{u,ε}(x) = 1 - (x - u)/ε  (u ≦ x ≦ u+ε),
> f_{u,ε}(x) = 0  (u + ε ≦ x ≦ b),
> 
> と採り,
> F(u):=lim_{ε→0}∫_a^b f_{u,ε}(x)dxと採ってやると

そういう積分ではありません. L しか与えられていない
のですから,

  F(u) = lim_{ε→0} L(f_{u,ε})

を考えよう, と言っているのです.

> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/f_u_graph.jpg
> というグラフになるのでこのFは[a,b]間で連続なので
> (勿論,右連続でもあるので)明らかにnormalized&増加である。

 F(u) がどうしてそういうグラフを持つのですか?

> 従ってTheorem3.5が使えて,μ((x,y])=F(y)-F(x)なるBorel測度μが採れる
> するとF(x)=F(x)-0=F(x)-F(a)=μ((a,x])と書ける。

 F(a) が 0 だと, どうして思うのですか.

> また、a≦c<d≦bならμ((c,b])=μ([a,d])-μ([a,c])なので
> μ([a,d])-μ([a,c])=F(b)-F(a)と書ける。

これはそう申し上げました.
 
> In article <090225032239.M0117438@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 因みに, F(a) = μ({a}),
> 
> これはどうしてでしょうか?
> 今,F(x)=μ((a,x])なのでF(a)=μ((a,a])からμ({a})が言えませんが。

 F(x) = μ((a, x]) ではありませんよ.

 **もし** L が μ による positive 線形汎関数 M と一致していて,
 L(f) = M(f) = ∫_a^b f(x) dμ(x) が任意の f ∈ C([a, b]) に
ついて成立しているのであれば,

  lim_{ε→0} f_{u,ε} = χ_{[a, u]}

ですから,

  lim_{ε→0} M(f_{u,ε})
  = lim_{ε→0} ∫_a^b f_{u,ε}(x) dμ(x)
  = ∫_a^b lim_{ε→0} f_{u,ε}(x) dμ(x)
  = ∫_a^b χ_{[a, u]} dμ(x)
  = μ([a, u])

であり,

  F(u) = lim_{ε→0} L(f_{u,ε}) = lim_{ε→0} M(f_{u,ε}) = μ([a, u])

の **はず** です.
従って, F(a) = μ([a, a]) = μ({a}) の **はず** です.

> >  μ({b}) = L(1) - lim_{u→b} F(u) です
> 
> もどのようにして導かれたのでしょうか?

 L(1) = μ([a, b]) の **はず** であり,
 lim_{u→b} μ([a, u]) = μ([a, b)) の **はず** ですから.

ともあれ, 貴方は未だ, 極限 F(u) の存在も, F(u) が
増加関数であることも, F(u) が右連続であることも
証明出来ていません.

> とりあえず先に進むと,,,
> このμがBに属する事を言うには,∫_a^b f(x)dμが
> positive&線形汎なfについての関数である事を言えばいいのですよね。

何回違うと言えば良いのでしょうか.

 M: C([a, b]) → R を M(f) = ∫_a^b f(x) dμ(x) で定めると,
 M が positive 線形汎関数になるのは, **当たり前** です.
今は, それが, 最初に与えられた L と一致するか,
任意の f ∈ C([a, b]) について, M(f) = L(f) となるか,
が問題になっているのです.

 L というのが分かりますか.

例えば, L(f) = f(a) と決めると, これは一つの positive 線形汎関数です.

例えば, L(f) = ∫_a^b x^2 f(x) dx と決めても,
又別の positive 線形汎関数です.

どんな L でも, positive 線形汎関数であれば, それに対応して,
それぞれ違った [a, b] 上の有限 Borel 測度が決まる,
と言っているのです.

# 汎関数が C([a, b]) の位相について連続であることは
# 常に仮定されています.

上の二つの例それぞれの F(u) はどんなものか, 分かりますか.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp