工繊大の塚本です.

In article <ddfc22cd-1831-448c-981a-b00e7ebf2b00@r27g2000vbp.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 問題9は
> 
> 「Let C([a,.b]) denote the vector space of continuous functions on the
> closed and bounded interval [a,b].
> Suppose we are given a Borel measure μ on this interval,with μ([a,b])
> <∞. Then
> f→L(f)=∫_a^b f(x) dμ(x)
> is a linear functional on C([a,b]),with L positive in the sense that L
> (f)≧0 if f≧0.
> Prove that,conversely,for any linear functional L on  C([a,b]) that is
> positive in the above sense,there is a unique finite Borel measure μ
> so that L(f)=∫_a^b fdμ for f∈C([a,b]).
> [Hint: Suppose a=0 and u≧0. Define F(u) by F(u)=lim_{ε→0} L(f_ε),where
> f_ε(x)=1(for 0≦x≦u), 0(for u+ε≦x)
> and f_ε is linear between u and u+ε.(See Figure 3.) Then F is
> increasing and right-continuous,and L(f) can be written as ∫_a^b f(x)dF
> (x) via Therem3.5.]
> The result also holds if [a,b] is replaced by a closed infinite
> interval; we then assume that  L is defined on the continuous
> functions of bounded support,and obtain that the resulting μ is finite
> on all bounded intervals.
> A generalization is given in Problem 5.」
> 
> でございます。
> 
> 下記normalizedの定義とTheorem3.5の説明です。

 Hint で使われている Stieltjes 積分の解説が主な所ですね.

> 「The Stieltjes integral was introoudeced to provide a generalization
> of the Riemann integral ∫_a^b f(x)dx,whrere the incerments dx were
> replaced by the increments dF(x) for a given increasing function F on
> [a,b].We wish to pursue this idea from the general point of view taken
> in this chapter.The quastion that is then raised is that of
> characterizing the measures on R that arise in this way,and in
> priticular measures defined  on the Borel sets on the real line.
>  To have a unique correspondence between measures and increasing
> functions as we shall have below,we need first to normalize these
> functions appropriately.Recall that an incrasing funciton F can have
> at most a countable number of discontuities.If x_0 is such a
> discontinuity,
> then
> lim[x<x_0,x→x_0」F(x)=F(x_0^-) and lim[x>x_0,x→x_0」F(x)=F(x_0^+)
> both exist,while F(x_0^-)<F(x_0^+) and F(x_0) is some value between F
> (x_0^-) and F(x_0^+).We shall now modify F at x_0,if necessary,by
> setting F(x_0)=F(x_0^+),and we do this for  every point of
> discontinuity.The function F so obtained is now still increasing,yet
> right-continuous at every poingt,and we say such functions are
> normalized. The main result is then as folllows.
> Theorem3.5
> Let F be an increasing function on R that is normalized. Then there is
> a unique measure μ (also denoted by dF) on the Borel sets B on R such
> that μ((a,b])=F(b)-F(a) if a<b. Cnonversely, if μis a measure on B
> that is finite on bounded intervals,then F defined  by F(x)=μ
> ((0,x]),x>0,F(0)=0 and,F(x)=-μ((-x,0]),x<0,is increasing and
> normalized.」

In article <d2e26b25-9129-4636-9663-d81590a79f5a@h16g2000yqj.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 問題9のみについての質問です。
> 問題9の趣旨は
> 『μ をBorel測度とする時, μが有限
> ⇔ψ:f→L(f)::=∫_a^b f(x)dμ(x)は線形汎写像をなす』
> で十分性を示せという事だと思います。
> 
> ヒントの内のF(x)が線形汎写像になる事を用いて

 F(x) は [a, b] 上の単調増加関数です. それを用いた
 Stieltjes 積分で, 与えられた線形汎関数は書けることを
示そうというわけです. 勿論, Stieltjes 積分には
 Borel 測度が対応します. それが Theorem 3.5 です.

> μが有限Borel測度である事を示せという意図だと推測します。

ちょっと注意すると, [a, b] 上の連続関数 f に対する
線形汎関数 L(f) が積分 ∫_a^b f(x) dμ(x) として
書けるなら, 定値関数 f = 1 に対して, L(1) = ∫_a^b 1 dμ(x)
 = μ([a, b]) ですから, μ は有限な測度です.

 a ≦ c < d ≦ b なる c, d について μ((c, d]) は
特性関数 χ_{(c, d]} の積分 ∫_a^b χ_((c, d])(x) dμ(x)
で与えられますが, もしそれが L(χ_{(c, d]}) だと出来るなら
 μ はそれで見つかったことになります. 残念ながら
 χ_{(c, d]} は連続関数ではありませんから L(χ_{(c, d]}) は
定義されていません.

しかし, a ≦ u < b なる u と u + ε < b なる正数 ε について,

  f_{u,ε}(x) = 1  (a ≦ x ≦ u),
  f_{u,ε}(x) = 1 - (x - u)/ε  (a ≦ x ≦ u),
  f_{u,ε}(x) = 0  (u + ε ≦ x ≦ b),

として f_{u,ε} を定義すると, これは連続関数ですから
 L(f_{u,ε}) が決まります.

もし, L が μ による積分で定義されているのであれば,
 lim_{ε→0} f_{u,ε} = χ_{[a, u]} ですから

  lim_{ε→0} ∫_a^b f_{u,ε}(x) dμ(x)
  = ∫_a^b χ_{[a, u]}(x) dμ(x)
  = μ([a, u])

になります. これが

  F(u) = lim_{ε→0} L(f_{u,ε})

を考える理由です. μ((c, d]) = μ([a, d]) - μ([a, c])
 = F(d) - F(c) になりますね.  因みに, F(a) = μ({a}),
 μ({b}) = L(1) - lim_{u→b} F(u) です.

ですから, μ があるとすると, μ はこの F から定まります.
そこで, 先ず F から出発して何が示せるか見ようというわけです.

> とりあえず,ヒントを読んでみると
> 『F(x)をFigure3のように定義すると
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/y_equal_fx.jpg
> のように右連続の増加関数になっている。
> その時,L(f)は∫_a^b f(x)dF(x)となる(∵Theorem3.5)』

その図は何を示しているのか分かりませんが, それはさておき,

> となっているのですが実際計算してみますと
> L(f)=∫_a^b f(x)dμ(x)

いや, だから, μ という測度の存在と, それで L が積分で
定義されていることを示すことが目的ですので, そんな式は
使えません.

> =lim[n→∞]∫_a^b f_n(x)dμ(x)
> (但し,f_nはfへの可測単関数列)(∵ルベーグ積分の定義)

ルベーグ積分の定義を復習しても始まりません.

> =lim[n→∞]∫_[a,b] f_n(x)dμ(x)
> =lim[n→∞]∫_[a,b] f_n(x)dμ(x)
> =lim[n→∞]∫_[a,b] Σ[i=1..r_n]a_{i_n} χ_{I_{i_n}} dμ(x)
> (但し.χ_{I_{i_n}} は特性関数,I_{i_1},I_{i_2},…,I_{i_{r_n}}は互いに素)
> (∵canonical formの定義)
> =Σ[i=1..r_n]a_{i_n} μ(I_{i_n})(∵単関数の積分の定義)
> ここから
> =Σ[i=1..r_n]a_{i_n} (b_{i_n}-a_{i_n}) (但し,I_{i_n}:=(a_{i_n},b_{i_n}])
> は書けませんよね。
> μはBorel測度だがμ((a,b]):=b-aと定義されているわけではありませんものね。
> うーん,どのようにして
> =∫_a^b f(x)dF(x)に持っていけるのでしょうか?

先ず, F(u) が単調増加関数であり, 右連続であることを示しましょう.
それで定義した Stieltjes 積分での f の積分と L(f) が一致すること
を示せば, 殆どお仕舞いです.
 
> まあ、とりあえずL(f)=∫_a^b f(x)dF(x)が成立する事が分かったとして先に進むと,

 Theorem 3.5 が対応する測度 μ を与えてくれます.
それで問題はお仕舞い.

> 『その結果は更にもし[a,b]が閉無限区間で置き換えられるならLは有限support
> (supportの定義はsupp(f):={x;f(x)≠0})
> での連続関数上で定義されると考えてよい』…【1】
> 
> つまりfは連続関数と考えてよいという主張でしょうか?
> これは意味不明なのですが…。一体どういうことでしょうか?

 [Hint] の後ろの部分は, 前半の問題の拡張が可能であることを
述べています. 有限区間 [a, b] でなく, [a, ∞) とか
 (-∞, b] とか (-∞, ∞) = R とか.
その場合に, f を任意の連続関数とすると, f = 1 というのも
許すことになり, μ は全測度が有限になってしまいます.
もう少し広いクラスを扱いたいので,
 f を有限 support の連続関数に限ってやると,
それらの全体の上での正な線形汎関数 L を与えることと,
有界な区間の測度が有限であるような測度を与えることが
同値であることが言える, というわけです.

> まあ、ここもとりあえず, Lが連続関数fで定義されていることが
> 分かったとして先に進むと
> 『そして,結果となるμが全ての区間で有限である事を得る』…【2】
> と説明されているのですが,全ての区間って上記のI_{i_n}
> I_{1_1},I_{2_1},…,I_{r_1},
> I_{1_2},I_{2_2},…,I_{r_2},
> I_{1_3},I_{2_3},…,I_{r_3},
> ：
> I_{1_n},I_{1_n},…,I_{r_n}
> の事でしょうか?

全く関係ありません. 「全ての有界な区間の測度が有限」です.

In article <22395211-1ff5-4cae-8fc8-79bacd3d3c19@n20g2000vba.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 今,「線形汎写像Lがpositive(f≧0⇒L(f)≧0)なら
> L(f):=∫_a^b fdμを満たす,Borel測度μが一意的に採れる」
> という事を示したいのですよね。
> 
> [Def] 「Xを全体集合とする。(2^X⊃)MがXでのπ-systemである
> ⇔(def) ∀E_1,E_2∈Mに対しE_1∩E_2∈M.」
> [π-systemの補題] MをX上のπ-systemとする。
> μ_1とμ_2はσ(M)上で有限測度(但し,σ(M)はMから生成されるσ集合体)
> でM上でμ_1=μ2でX_n↑Xなる単調増加集合列{X_n}が存在し,
> 任意のn∈Nでμ_1(X_n)=μ_2(X_n)<∞ならばσ(M)上で
> μ_1=μ_2となる」
> 
> という補題が利用できるのではと思いました。

これと上の問題がどう関係するのでしょうか.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp