ご回答大変ありがとうございます。とても参考になっております。


>> L(f)の像は具体的には分からずただ,positiveな線形汎なのですね。
> 意味不明です.
：
> L というのが分かりますか.
> 例えば, L(f) = f(a) と決めると, これは一つの positive 線形汎関数です.
> 例えば, L(f) = ∫_a^b x^2 f(x) dx と決めても,
> 又別の positive 線形汎関数です.
> どんな L でも, positive 線形汎関数であれば, それに対応して,
> それぞれ違った [a, b] 上の有限 Borel 測度が決まる,
> と言っているのです.
> # 汎関数が C([a, b]) の位相について連続であることは
> # 常に仮定されています.
> 上の二つの例それぞれの F(u) はどんなものか, 分かりますか.

お手数おかけしまして誠に申し訳ありません。
とりあえず今までのご説明を参考に自分なりに混乱しながら分かった事を述べさせていただきます。

今,∀L∈{L∈Map(C([a,b]),R);Lはpositive&線形}に対して,
B_L:={μ;μはL(f)=∫_a^b f(x)dμ (for ∀f∈C([a,b]))なる有限なBorel測度}が単集合になることを示
せ。
というのが問意ですね。

(i) (存在性)B_L≠φを示す。
x∈[a,b]において
f_{ε,x}(t):= 1  (a ≦t≦x),  1-(t -x)/ε  (x <t<x+ε), 0  (x + ε≦t≦ b),
g(x):=∫_a^b f_{ε,x}(t)dt
とおくとg(x)は前記事figure.9の台形部分の面積で
F(x):=lim[ε→0]g(x)は縦1横x-aの長方形の面積を表し,明らかにFは単調増加で、[a,b]で連続なので[a,b]で右連続。
そこでTheorem3.5が使えて,
μ((x,y])=F(y)-F(x) (但し,x,y∈[a,b])なる[a,b]上のBorel測度が採れる。
{a}とかもBorel集合なのでμ({a})も定義されている。
この時μ([a,b])<∞ である(∵???)。
そして∫_a^b f dμはμ積分の性質からpositive&線形である事も分かる。
従って,μ∈B_Lと言える。


(ii) (一意性)|B_L|=1を示す。
μ,ν∈B_Lを採るとB_Lの定義から∫_a^b f_{ε,x}(t) dμ=∫_a^b f_{ε,x}(t) dνと書ける。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/line_graph_20090307.jpg
なる3つの関数を考える。
∀x∈[a,b]を採ると∫_a^b f_{ε,x}(t) dμ=∫_a^b f_{ε,x}(t)dν=L(f_{ε,x})で(∵f_{ε,x}
∈C([a,b]))
∫_a^{x+ε} f_{ε,x}(t) dμ=∫_a^{x+ε} f_{ε,x}(t)dνと書ける(∵x+ε<tなるtにおいてはf_
{ε,x}(t)=0)。
そして,任意のεに対し,∫_a^{x+ε} f_{ε,x}(t)dμ-∫_a^{x+ε} f_{ε,x}(t) dν=0が言える。
従って,lim_{ε→0}(∫_a^x f_{ε,x}(t)dμ-∫_a^x f_{ε,x}(t)dν)=lim_{ε→0}0とすると
∫_a^x lim_{ε→0}f_{ε,x}(t)dμ-∫_a^x lim_{ε→0} f_{ε,x}(t)dν=0と書ける(∵???)。
よって∫_a^x 1dμ-∫_a^x 1 dν=0 (但し,∫_a^x 1dμは縦1よこx-aの長方形の面積を表す)
即ち,∫_a^x 1dμ=∫_a^x 1 dν.つまりμ([a,x])=ν([a,x]).

同様にh_{ε,x}(t):= 0  (a ≦t≦x),  (t -x)/ε  (x <t<x+ε), 1  (x + ε≦t≦ b)なる関
数
(但し,h_{ε,x}はf_{ε,x}を左右反転させたグラフ) に対して上記の議論を行うと
∀x∈[a,b]に対して,∫_x^b 1dμ-∫_x^b 1 dν=0を得る。つまりμ([x,b])=ν([x,b]).

同様に∀[c,d]⊂(a,b) においてk_{ε,x}(t):= 0  (a ≦t≦c-ε),  (t-x)/ε  (c-ε<t≦c),
1 (c<x≦d), 1-(t -x)/ε  (d <t<d+ε), 0  (d+ε≦t≦b)なる関数
(但し,k_{ε,x}は[c,d}間が1になる)
に対して上記の議論を行うと,∫_c^d 1dμ-∫_c^d 1 dν=0を得る。つまりμ([c,d])=ν([c,d]).


以上より,∀[c,d]⊂[a,b]に対して,μ([c,d])=ν([c,d])を得る。
そこで[a+1/n,b-1/n]↑[a,b]でμ([a+1/n,b-1/n])=ν([a+1/n,b-1/n])<∞なる増加Borel集合列が
採れ,
更に[a,b]の閉部分区間はπ-systemをなすのでπ-systemの補題が使えて,
任意の[a,b]上のBorel集合Eに対し,μ(E)=ν(E).従って,μ=ν

よって,(i),(ii)より命題が示された。

となったのですが???の箇所の理由がどうしてもいえません。どうすれば言えますでしょうか?