ご回答大変ありがとうございます。


>> 今,∀L∈{L∈Map(C([a,b]),R);Lはpositive&線形}に対して, B_L:={μ;μはL(f)=∫_a^b
>>  f(x)dμ (for ∀f∈C([a,b]))なる有限なBorel測度} が単集合になることを示せ。
>>  というのが問意ですね。
> そうです.

お蔭様でやっと先に進めます。


>> (i) (存在性)B_L≠φを示す。 x∈[a,b]において f_{ε,x}(t):= 1  (a ≦t≦x),
>> 1-(t -x)/ε  (x <t<x+ε), 0  (x + ε≦t≦ b),
> そう置くのですが,

はい。

>> g(x):=∫_a^b f_{ε,x}(t)dt とおくと
> g(x) = (x - a) + ε/2 で, L とは何の関係もないものですね.
> それから何を考えても, L によって定まっている B_L の話には
> 繋がりません.

あっ。そうでした。今,L(f)=∫_a^b f(x)dμなるμ探しをしているのですから
μ∈B_LなるμはLで作って見せないといけないのでした。


> 以下は論評するだけ無駄です.

これは大変失礼いたしました。

もとい、
(i) F(u):=lim_{ε→0}L(f_{u,ε})と採り,Fが単調増加である事を示す。
Lは[a,b]でpositive「⇔(def) [a,b]でf≧0なら,fの(任意の)積分値は非負,つまりどんな測度で積分してもfが非負ならそ
の積分値も非負」
なので任意の測度mに対して,∫_a^b f_{u,ε}dm≧0 と書ける(∵今,f_{u,ε}≧0なのでpositiveの定義)。
u≦vならf_{u,ε}≦f_{v,ε}なので(∵μ積分の定義),0≦f_{v,ε}-f_{u,ε}∈C([a,b])なので0≦L(f_
{v,ε}-f_{u,ε})(∵psitiveの定義)
=L(f_{v,ε})-L(f_{u,ε})(∵Lは線形)。即ち,L(f_{v,ε})≦L(f_{u,ε}).  よってFは単調増加。

(ii) Fはnormailzed,つまり右連続である事を示す。
∀u∈[a,b)を採ると,lim_{t→u+}F(t)=lim_{t→u+}lim_{ε→0}L(f_{t,ε})=lim_{ε→0}L
(lim_{t→u+}f_{t,ε})
=lim_{ε→0}L(f_{u,ε}) となる予定なのですが
lim_{t→u+}lim_{ε→0}L(f_{t,ε})からlim_{ε→0}L(lim_{t→u+}f_{t,ε})がどうしても言えませ
ん。どうすれば 言えますでしょうか?

(iii) Theorem3.5よりμ((x,y])=F(y)-F(x) (但しa≦x<y≦b)なる[a,b]上のBorel測度が採れる。
その時,μ({a})=F(a)となる。。。
ハズなんですよね。μ((c,d])=μ([a,d])-μ([a,c])=F(d)-F(c)からμ((a,d])=μ([a,d])-μ
([a,a])=F(d)-F(a)で
μ({a})=μ([a,a])=μ([a,d])-F(d)+F(a)=μ({a})+μ((a,d])-F(d)+F(a)=μ({a})+F
(d)-F(a)-F(d)+F(a)…
でどうしてもμ({a})=F(a)が出てきません。どのように計算されたのでしょうか?

あと,μ({b})=L(1)-lim_{u→b}F(u)はどうしてこのように書けるのでしょうか?

(iv) このLから定まったBorel測度μが有限ある事を示す。
μ([a,b])=μ({a})+μ((a,b])=F(a)+F(b)-F(a)(∵(iii)の内容より =F(b)<∞ (∵Fの定義).

(v) このμが∀f∈C([a,b])に対してL(f)=∫_a^b fμを満たす事を示す。
fが一般の関数の時にはf=f^+-f^- (但し,f^±=max{±f(x),0}≧0)と書けるので一般性を失わずにf≧0としてよい。
すると∫_a^b fμ=lim_{n→∞}∫_a^b f_n dμなるfの定義関数列が採れる(∵μ積分の定義)
= lim_{n→∞}∫_a^b Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}χ_{E_{i,n}} dμと書ける(canonical form
の定義)。
= lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}μ(E_{i,n}) (∵単関数の積分の定義)
= lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}μ((c_{i,n},d_{i,n}]) (∵E_{i,n}は互いに素な半開
区間になっている(∵canonical formの定義))
= lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}(F(d_{i,n})-F(c_{i,n}])) (∵μの定義)
= lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}(lim_{ε→0}L(f_{d_{i,n},ε})-lim_{ε→0}L
(f_{c_{i,n},ε})) (∵Fの定義)
= lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}(lim_{ε→0}L(f_{d_{i,n},ε})-L(f_{c_
{i,n},ε}))
(∵lim_{ε→0}L(f_{d_{i,n},ε})とlim_{ε→0}L(f_{c_{i,n},ε})は収束値を持つのでlimの性質)
= lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}(lim_{ε→0}L(f_{d_{i,n},ε}-f_{c_
{i,n},ε})) (∵Lは線形)
= lim_{n→∞} lim_{ε→0}Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}(L(f_{d_{i,n},ε}-f_{c_
{i,n},ε})) (∵limの性質)
= lim_{n→∞} lim_{ε→0}L(Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}(f_{d_{i,n},ε}-f_{c_
{i,n},ε})) (∵Lは線形)
=  lim_{ε→0}lim_{n→∞}L(Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}(f_{d_{i,n},ε}-f_{c_
{i,n},ε})) (∵limの性質)
=  lim_{ε→0}L(lim_{n→∞}Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}(f_{d_{i,n},ε}-f_{c_
{i,n},ε})) (∵limの性質)
=  lim_{ε→0}L(lim_{n→∞}Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}(F(d_{i,n})-F(c_{i,n})))
(∵Fの定義)
=  lim_{ε→0}L(lim_{n→∞}Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}μ_(E_{i,n})) (∵μの定義)
=  lim_{ε→0}L(lim_{n→∞}Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}χ_{E_{i,n}}) (∵特性関数の定義)
=  lim_{ε→0}L(lim_{n→∞}f_n) (∵canonical formの定義)
=  lim_{ε→0}L(f) (∵f_nの定義)
= L(f)
即ち,∫_a^b fμ=L(f)
よって 存在性(μ∈B)が示せた。うーん、こんな感じでいいのでしょうか?

後の一意性は私のπ-systemの論法でも宜しいでしょうか?

でも前記事では一意性のすごく簡単らしくおっしゃってましたがその簡単な方法とはどういうものでしょうか?