ご回答大変ありがとうございます。

:
>> > 更に, L_c  (c ∈ [a, b]) という線形汎関数を L_c(f) = f(c) で定義して,
>> > F_c(u) を求めて御覧なさい.
>> L(f):=f(a)の時と同様にL_cはpositive&線形汎になりますね。
>> F_c(u)=lim_{ε→0}L_c(f_{u,ε})=lim_{ε→0}f_{u,ε}(c)= c (a≦u≦cの時), 0
>> (c<u<bの時) となりますね。
> 間違っています. F_c は単調増加で右連続であることに
> 注意しましょう. そうなっていなければどこか間違っています.

すいません。
F_c(u)=lim_{ε→0}L_c(f_{u,ε})=lim_{ε→0}f_{u,ε}(c)=1 (c≦uの時), 0 (c>uの時) と
なりますね。
これならu≦vなら,u<c<vの時とかはF(u)=0,F(v)=1なので単調増加になっています。
右連続であることは
どんな正の数kについてもある正の数δがあって,
u<x<u+δの時,F_c(u)≦F_c(u)+kを示せばよい。
F_c(u) = lim_{ε→+0} L_c(f_{u,ε})なので,
ある正の数 ε' について, F_c(u) ≦ L_c(f_{u,ε'}) < F_c(u) + k/2
となります. u < x なる x について, f_{x,ε'} - f_{u,ε'} を
考えると, x < u + ε' であれば,
 (f_{x,ε'} - f_{u,ε'})(t)
  = 0                        (a ≦ t ≦ u)
  = (t - u)/ε'              (u ≦ t ≦ x)
  = (x - u)/ε'              (x ≦ t ≦ u + ε')
  = (x + ε' - t)/ε'  (u + ε' ≦ t ≦ x + ε')
  = 0                  (x + ε' ≦ t ≦ b)
なので, 0 ≦ f_{x,ε'} - f_{u,ε'} ≦ (x - u)/ε' であり,
 C([a, b]) において, lim_{x→u+0} (f_{x,ε'} - f_{u,ε'}) = 0
ですから, lim_{x→u+0} L_c(f_{x,ε'} - f_{u,ε'}) = lim_{x→u+0}(f_{x,ε'}(c)-f_
{u,ε'}(c))
=lim_{x→u+0}0 (c≦uの時), lim_{x→u+0}1 (u<c≦xの時), lim_{x→u+0}0 (x<cの時)
=0.
つまり, ある正の数 δ があって, u < x < u + δ ならば,
 0 ≦ L_c(f_{x,ε'} - f_{u,ε'}) < k/2 となる。
このとき,
  F_c(u) ≦ L_c(f_{u,ε'}) ≦ L_c(f_{x,ε'}) < L_c(f_{u,ε'}) + k/2
       < F_c(u) + k/2 + k/2
なので F_c(u) ≦ F_c(x) ≦ L_c(f_{x,ε'}) < F_c(u) + k で上手くいきました。.


>>> ボレル集合 E ⊂ [a, b] に対して, a ∈ E のときは μ(E) = F(a) + μ_0(E＼{a}),
>>> a ∈ E でなければ μ(E) = μ_0(E) で定めたものが測度になることはお確かめ下さい.
>> F(u) = 0     (-∞ < u < a), lim_{ε→0}L(f_{u,ε}) (a≦u<b), F(b)   (b ≦
>> u < ∞)
>> ですよね。μ({a})=F(a)+μ_0({a}＼{a})=F(a)+μ_0(φ)=F(a) でいいのでしょうか。
> Theorem 3.5 を用いて F から R 上の測度 μ を定義する時,
> その台が [a, b] に含まれていて, μ({a}) = F(a) となること
> をお確かめ下さい.
> 台が [a, b] に含まれるとは, E ∩ [a, b] = φ (空集合) と
> なるボレル集合 E について μ(E) = 0 となることです.

ありがとうございます。
Theorem3.5ではもし,a<bならμ((a,b])=F(b)-F(a)とすると書いてありますので
台が[a,b]に含まれる事は(-∞,a),(b,∞)はBorel集合で
台が[a,b] に含まれるというのだからμ(-∞,a)=μ(b,∞)=0
よってE ∩ [a, b] = φ なるBorel集合Eについては単調性からμ(E)=0.
と示せるのですね。

μ({a})=μ(lim_{n→∞}(a-1/n,a])=lim_{n→∞}μ(a-1/n,a])
(∵μ((a-1/1,a])=F(a)-F(a-1)=0-0=0<∞より某命題)
=lim_{n→∞}(F(a)-F(a-1/n))=lim_{n→∞}F(a)-lim_{n→∞}F(a-1/n)
=lim_{n→∞}F(a)-lim_{n→∞}0
=lim_{n→∞}F(a)-0
lim_{n→∞}F(a)=F(a)となるのですね。

>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/pusai_epsiron_20090314...
>> という具合のグラフですね。連続な単関数もどきを作ってしまおうという事ですね。
> そうです.
>> 了解いたしました。これでL(f)=∫_a^b fdμは納得できました。
> L_c も理解できていないのに, 「納得」だけしても
> 仕方がないと思います.

すっすいません。上記の解釈でよろしいでしょうか?