工繊大の塚本です.

In article <b2473da7-49ef-404c-a966-d155ad275e3f@a37g2000prf.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 今z=x+iyだったのでz=√(x^2+y^2)(cos(arg(z))+isin(arg(z)))
> =r(cos(arg(z))+isin(arg(z))) (但し,r:=√(x^2+y^2))と書けるので
> f(z)=arctan(y/x)+i(-ln(x^2+y^2)/2)+C

先の計算から, f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y)
において, u(x, y) = arctan(y/x) は指定されていて,
 v(x, y) は積分定数の自由度が残りますから,
 v(x, y) = -(1/2) log(x^2 + y^2) + C (C は実数)であり,
 f(z) = arctan(y/x) + i(-(1/2) log(x^2 + y^2)) + iC
です.

> =-i(iarctan(y/x)+ln(x^2+y^2)/2)+C
> =-i(iarctan(y/x)+ln√(x^2+y^2))+C
> =-i(iarctan(y/x)+ln(r))+C
> =-i(ln(r)+iarctan(y/x))+C
> =-iln(z)+C

ですから, -i(log r + i arctan(y/x)) + iC です.

> これから
> =-iln(z)+iC と純虚数iCが現れるのは何故でしょうか?

積分定数ですね.

>  v(x, y) = -(1/2) log(x^2+y^2)+w(y)でw(y)=ia(但し,R∋a:定数)の場合でも
> ∂w(y)/∂y=∂(ia)/∂y=0となるので∂v/∂y=- y/(x^2+y^2)となり,
> w(y)は実定数ではなく,w(y)は複素定数でなければならないと思うのですが。。

複素関数 f(z) の虚部 v(x, y) は実数値関数です.

> In article <090726022059.M0130519@cs2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > πi (+ 2πi の整数倍)ずれているものを取ると,
> 
> えっ!?
> つまり,log(z)の分岐は,
> …,log(r)+i(θ-2π),log(r)+iθ,log(r)+i(θ+2π),log(r)+i(θ+4π),…
> だけではなく,
> ,…,log(r)+i(θ-2π),log(r)+i(θ-π),log(r)+iθ,
> log(r)+i(θ+π)log(r)+i(θ+2π),log(r)+i(θ+3π)log(r)+i(θ+4π),…
> となるのでしょうか?

 log の分枝の話ではなく, arctan の分枝の話をしています.

> 今,f(z)=-i(ln(r)+iarg(z))+iC (但し,Cは実数定数)と書けていて,
> arg(z)=Arg(z)+2nπ (但し,-π<Arg(z)≦π,nは整数)であって
> arg(z)=Arg(z)+nπとは書けないと思うのですが勘違いしてますでしょうか?

 arctan(y/x) の分枝を arg(z) の分枝と一致するものに取るか,
 π (+ 2πi の整数倍) ずれているものを取るかで,

  f(z) = -i(log r + i arctan(y/x)) + iC
       = -i(log r + i arg(z)) + iC 又は -i(log r + i arg(z) + iπ) + iC
       = -i log z + iC 又は -i log z + π + iC

となります.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp