ご回答大変ありがとうございます。

>> ⊿u=0はどういう意味なのでしょうか?
> ⊿u = u_{xx} + u_{yy} ですから, 調和であるということです.

ありがとうございます。
⊿u (⊿はデルタ)ではなく△uで△をLaplacianまたはLaplace作用素と呼ばれ
2変数の実関数u(x,y)に対して△u:=u_xx+u_yyと定義されるのですね。
△u=0ならu_xx+u_yy=0でこれはuが調和関数になっている事を意味します(∵調和関数の定義)ので
△u=0が言えれば(a)は完結する訳ですね。

>> (a)については θ=arctan(y/x)と置くと,x=y/tanθなので
>> ∂x/∂θ=-y(tanθ)'/(tanθ)^2=-y/(cosθtanθ)^2
> x は θ と「何」の関数だと考えているのですか.

単にθ=u(x,y)と置いたのですが,,,
(逆関数が微分できるようなx/y=tanθという形に変形するために)

> それを決めなければ, 偏微分は決まりません.
> y も θ と「何」かの関数でしょうから,
> x = y/(tan θ) を θ で辺々偏微分すれば,
> ∂x/∂θ = (∂y/∂θ)(cot θ) - y cosec^2 θ
> となるので, 上の式は間違いです.

わかりました。一変数の逆関数の微分とごっちゃになってしまってました。
今,△u=0が求まればいい訳ですから△u=∂^2/∂x^2 arctan(y/x) + ∂^2/∂y^2 arctan(y/x)
(∵Laplacianの定義)
を計算すればいいのですね。

>> よって,∂θ/∂x=1/(∂x/∂θ)
> 偏微分の場合, これは成立しません.

そのようです。失礼いたしました。

> x = x(u, v), y = y(u, v) という変数変換があるとき,
> つまり, u = u(x, y), v = v(x, y) という逆変換も
：
> 1変数の場合の逆関数の微分法に対応する,
> 2変数の場合の逆関数の偏微分法です.

ありがとうございます。とても参考になります。

> ということで,
>> =1/(-y/(cosθtanθ)^2)=-(cosθtanθ)^2/y
>> =-[(tanθ)^2/((tanθ)^2+1]/y=-[(y/x)^2/((y/x)^2+1)]/y=-y/(x^2+y^2)
> こういう計算は出来ませんが,

そうですね。

>> だから u_x(x,y)=-y/(x^2+y^2)
> 結論はその通り. θ = arctan t とするとき,
> t = tan θ であるので, dt/dθ = sec^2 θ = 1 + tan^2 θ = 1 + t^2
> より, dθ/dt = 1/(1 + t^2) であることは
> 良く知られていますから,
>  u_x
>  = ∂(arctan(y/x))/∂x
>  = 1/(1 + (y/x)^2) × ∂(y/x)/∂x
>  = 1/(1 + (y/x)^2) × (- y/x^2)
>  = - y/(x^2 + y^2)
> とするのが正しい計算の「書き方」です.

ありがとうございます。これも大変参考になります。
∂(arctan(y/x))/∂xから先は微分の記号で表すと
∂(arctan(y/x))/∂x=dθ/dt・dt/dx(∵合成微分の公式?)
=1/((y/x)^2+1)(-y/x^2)=-y/(x^2+y^2)
と書けますでしょうか?

>> 同様にして
> 以下も計算の「書き方」は出鱈目ですが,
>> だからu_y(x,y)=x/(x^2+y^2)
> は正しい. 正しい「書き方」をして下さい.

失礼いたしました。
今,t=y/xとしたのでdt/dy=1/xでu_y(x,y)=∂arctan(y/x)/∂y
=1/((y/x)^2+1)・1/x=x/(x^2+y^2).
となりますね。

> 又, u が harmonic であることを, 更に
> u_{xx} と u_{yy} を求めて,
> ⊿u = u_{xx} + u_{yy} = 0 となることを示して,
> 御確認下さい.

u_x(x,y)=-y/(x^2+y^2), u_y(x,y)=x/(x^2+y^2)と分かったので
u_xx(x,y)=2xy/(x^2+y^2)^2,u_yy(x,y)=-2xy/(x^2+y^2)^2となり,
確かにu_xx+u_yy=0となりますね。従って,harmonic functionの定義より,u(x,y)はharmonic
functionである。

>> v_x(x,y)=x/(x^2+y^2)(=u_y(x,y)), v_y(x,y)=y/(x^2+y^2)(=-u_x(x,y))
> v_x = - u_y, v_y = u_x が Cauchy-Riemann の関係式です.
> ちゃんと書いてあるでしょう?

そうでした。マイナスの場所が間違ってました。
v_x(x,y)=-x/(x^2+y^2), v_y(x,y)=-y/(x^2+y^2)を満たすv(x,y)を求めれば(a)はお仕舞いです
ね。
しかし,このv(x,y)は簡単には見つかりそうにないですね。

> ということで, v は偏微分方程式
>   v_x(x, y) = - x/(x^2 + y^2),
>   v_y(x, y) = - y/(x^2 + y^2),
> の解ですが,

これはどのようにして求めればいいのでしょうか?

>> だからv(x,y)=1/(2(x^2+y^2))と求まります。
> それは間違っています. もう一度考えていただくとして,

失礼いたしました。

>> (b)のf(z)は何の事か首を捻ってしまいます。
>> 多分,誤植だと思いますが,どんな問題だと予想できますでしょうか?
> いや, Cauchy-Riemann の関係式を満たす u(x, y), v(x, y)
> というのは, 正則関数 f(z) = f(x + iy) の実部と虚部を
> 表しているものと, いつでも考えているわけです.

なるほど。ありがとうございます。z=x+iyの時,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)としてあるのですね。

>> f(z)=u(x,y)の事かとも思いましたが, u(x,y)はharmonic functionと
>> いってあるのだから,u(x,y)は実関数ですよね。
>> なのでf(z)=u(x,y)は考えられないと思うのですが…。
> だから, f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y) は
> どんな正則関数でしょうか, という問題です.

u(x,y)+iv(x,y)をうまい具合に変形してzの多項式で表せばいいのですね。まずはv(x,y)を求めねばなりませんね。