工繊大の塚本です.

In article <77b85fb0-14ce-41a0-afeb-e085a5622d74@c1g2000yqi.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 単にθ=u(x,y)と置いたのですが,,,

それだけでは, ∂x/∂θ には意味がありません.

> ∂(arctan(y/x))/∂xから先は微分の記号で表すと
> ∂(arctan(y/x))/∂x=dθ/dt・dt/dx(∵合成微分の公式?)
> =1/((y/x)^2+1)(-y/x^2)=-y/(x^2+y^2)
> と書けますでしょうか?

はい.

> 今,t=y/xとしたのでdt/dy=1/xで

 ∂t/∂y = 1/x です.

> u_y(x,y)=∂arctan(y/x)/∂y
> =1/((y/x)^2+1)・1/x=x/(x^2+y^2).
> となりますね。

はい.

> u_x(x,y)=-y/(x^2+y^2), u_y(x,y)=x/(x^2+y^2)と分かったので
> u_xx(x,y)=2xy/(x^2+y^2)^2,u_yy(x,y)=-2xy/(x^2+y^2)^2となり,
> 確かにu_xx+u_yy=0となりますね。
> 従って,harmonic functionの定義より,u(x,y)はharmonic
> functionである。

はい.

> v_x(x,y)=-x/(x^2+y^2), v_y(x,y)=-y/(x^2+y^2)を満たすv(x,y)を求めれば
> (a)はお仕舞いですね。
> しかし,このv(x,y)は簡単には見つかりそうにないですね。

簡単に見つかります. y を定数だと思って,

  dV/dx = - x/(x^2 + y^2)

となる V = V(x) を先ず求めましょう. 不定積分

  V(x) = - ∫ x/(x^2 + y^2) dx

の計算は高校生でも出来ます. v(x, y) が何になるかも
直ぐ分かるでしょう.

> u(x,y)+iv(x,y)をうまい具合に変形してzの多項式で表せばいいのですね。

多項式とは限りませんよ.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp